本实验的准备知识包括最大公约数、模运算及其基本性质、互素等概念。
最大公约数: a和b的最大公约数是能够同时整除a和b的最大正整数,记为:gcd(a,b)或(a,b)。
互素的(既约的):满足gcd(a,b)=1的a和b。
同余(模运算):设整数a,b,n(n≠0),如果a-b是n的整数倍(正的或负的),我们就说a≡b(mod n),读作:a同余于b模n。
欧几里得算法:又称辗转相除法,基于定理gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) (a>b)
public int euclid(int a,int b){
int first,second;
first = a;
second = b;
int temp;
if(first<second){
temp = first;
first = second;
second = temp;
}
while(first%second!=0){
temp = first%second;
first = second;
second = temp;
}
return second;
}
扩展的欧几里得算法
对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。
乘法逆元素:假设gcd(a,n)=1,则存在整数s,t,使得 as+nt=1(由扩展的欧几里得算法可知),则as≡1(mod n),因此s是a(mod n)的乘法逆元素。且有:a-1≡s(mod n)。
public int euclid_2(int a,int b)
{
int first = a;
int second = b;
if(second == 0)
{
x=1;
y=0;
return first;
}
int r=euclid_2(second,first%second);
int t=y;
y=x-(first/second)*y;
x=t;
return x; //结束循环
}
说明:输入a,b两个数,使用递归的策略,将second和first与second的余数再传给下一次的欧几里得扩展算法,设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得:x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;(这就是算法中x,y的作用)
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
用x来记录最终的结果逆元。最后返回x。求出的逆元可能为负,所以输出的结果应该为(x+b)%b的值。
完整代码:
Arithmetic.Java
public class Arithmetic {
int x = 0;
int y = 0;
public int euclid(int a,int b){
int first,second;
first = a;
second = b;
int temp;
if(first<second){
temp = first;
first = second;
second = temp;
}
while(first%second!=0){
temp = first%second;
first = second;
second = temp;
}
return second;
}
public int euclid_2(int a,int b)
{
int first = a;
int second = b;
if(second == 0)
{
x=1;
y=0;
return first;
}
int r=euclid_2(second,first%second);
int t=y;
y=x-(first/second)*y;
x=t;
return x; //结束循环
}
}
Test.java
import java.util.Scanner;
public class Test {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Arithmetic arithmetic = new Arithmetic();
Scanner in = new Scanner(System.in);
System.out.println("请输入欧几里得算法求最大公因数的两个数(中间用空格隔开):");
int first = in.nextInt();
int second = in.nextInt();
System.out.println("gcd("+first+","+second+")="+arithmetic.euclid(first,second));
System.out.println("请输入欧几里得扩展算法求逆元的两个数(中间用空格隔开):");
int third = in.nextInt();
int fourth = in.nextInt();
int result = arithmetic.euclid_2(third,fourth);
if(result<0) {
result = result+ fourth;
}
System.out.println(third+"(mod"+fourth+")="+result);
}
}
实验结果截图
本次实验主要是为了掌握最大公因子算法的实现、同余类中元素的乘法逆元的求解。