动态规划：最长公共子序列问题

动态规划的一般步骤：

1. 问题结构分析
   给出两个序列X[n],Y[m]，求X[n],Y[m]的最长公共子序列的长度C[n][m]

2. 递推关系建立
   用一个具体的例子来分析序列末尾字符：

   情况1：X[n],Y[m]末尾字符不同
   情况2：X[n],Y[m]末尾字符相同
   
   先来看情况1：X[n],Y[m]末尾字符不同，情况1有两种可能：
   （1）去掉Y[m]末尾字符，即C[7][6-1]+0:
   
   （2）去掉X[m]末尾字符，即C[7-1][6]+0:
   
   所以递归关系为：C[i,j]= max { C[i -1,j], C[i,j-1] }
   
   再来看情况2：X[n],Y[m]末尾字符相同，情况2有三种可能：
   （1）X[n],Y[m]末尾字符同时选取，并隐去后，下一步的得C[7-1,6-1] + 1
   但两者并不一定都出现在最长子序列中，所以就有了(2)(3)两种可能:
   （2）去掉Y[m]末尾字符，即C[7][6-1]+0:
   
   （3）去掉X[m]末尾字符，即C[7-1][6]+0:
   
   但这三种可能并不是需要都求解，分析得C[i-1,j-1]+1 >= max{C[i,j -1],C[i-1,j]，所以最终的递归关系为：C[i,j]= C[i -1,j-1]+1

3. 自底向上计算
   （1）初始化：C[i,0]= C[0,j]= 0；某序列长度为0时，最长公共子序列长度为0
   （2）递推公式：
   

4. 最优方案追踪
   构造追踪数组rec[n]，记录子问题来源
   

算法图解

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

string X,Y;
int C[1001][1001];//记录公共子序列长度

int main(){
    
    
	cin >> X >> Y;
	int n = X.length(), m = Y.length();
	
	//初始化 
	for(int i=0; i<n; i++)
		C[i][0] = 0;
	for(int j=0; j<n; j++)
		C[0][j] = 0;
	
	for(int i=1; i<=n; i++){
    
    
		for(int j=1; j<=m; j++){
    
    
			if(X[i]==Y[j])
				C[i][j] = C[i-1][j-1]+1;
			else 
				C[i][j] = max(C[i][j-1],C[i-1][j]);
		}
	}
	
	cout << C[n][m] << endl;//输出最长公共子序列长度
	return 0;
}