一、问题描述

有 N 个物品，并且每个物品都有一个重量 W 和一个价值 V。你有一个能装 M 重量的背包，问怎么装才能使所装的价值最大(每个物品只有一个)

输入：

输入的第一行包含两个整数 n, m，分别表示物品的个数和背包能装的重量

以后N行每行两个数 Wi 和 Vi,表示物品的重量和价值

输出：

输出1行，包含一个整数，表示最大价值。

样例输入：
3 5
2 3
3 5
4 7
样例输出：
8

二、解题思路

解题方法：动态规划

1. 记 f(i, W)：当背包容量为 W 时，现有 i 件物品可以装，所能装入背包的最大值(即：f(3, 5))

2. 那么现在分为两种情况：

   a. 不装入第 i 件物品，f(i-1, W)

   b. 装入第 i 件物品，f(i-1, W - w[i]) + v[i]

   由此可以推出状态转移方程：
   f ( i , W ) = { f ( i − 1 , W ) w[i]>W(物品太重) m a x { f ( i − 1 , W ) , f ( i − 1 , W − w [ i ] ) + v [ i ] } w[i]<=W f(i,W) = \begin{cases} f(i-1,W) & \text{w[i]>W(物品太重)} \\ max\{f(i-1,W),& f(i-1,W-w[i])+v[i]\}& \text{w[i]<=W} \end{cases} f(i,W)={ f(i−1,W)max{ f(i−1,W),​w[i]>W(物品太重)f(i−1,W−w[i])+v[i]}​w[i]<=W​
   即：

   

   通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到

   

三、AC代码如下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[201][5001];
int main()
{
    
    
    int n,m,z;
    cin>>n>>m;
    vector<int> w,v;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        cin>>z;
        w.push_back(z);
        cin>>z;
        v.push_back(z);
    }
    //规划最优解
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        for(int j=1;j<=m;j++){
    
    
            if(j<w[i-1]){
    
    
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
                continue;
            }
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]);
        }
    }
    cout<<dp[n][m]<<endl;
    return 0;
}