命题逻辑
异或与精确表达
异或
异或，英文为exclusive OR，缩写成xor
异或的数学符号为“⊕”，计算机符号为“eor”。其运算法则为：
a⊕b = (¬a ∧ b) ∨ (a ∧¬b)
如果a、b两个值不相同，则异或结果为1。如果a、b两个值相同，异或结果为0。
精确表达:真值表需要精确对应
天不下雨，我就上街，否则在家
( ¬ 天 下 雨 → 我 上 街 ) ∧ ( 天 下 雨 → 我 在 家 ) (\neg 天下雨 →我上街)∧(天下雨 →我在家) (¬天下雨→我上街)∧(天下雨→我在家)
命题公式的简化与命题等价
命题公式的简化
简 化 命 题 公 式 的 约 定 { 最 外 层 括 号 可 省 略 不 影 响 运 算 次 序 ( ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ ) 的 括 号 可 省 略 \mathrm{简化命题公式的约定}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{最外层括号可省略}\\\mathrm{不影响运算次序}(\neg,\wedge,\vee,\rightarrow,\leftrightarrow)\mathrm{的括号可省略}\end{array}\right. 简化命题公式的约定{ 最外层括号可省略不影响运算次序(¬,∧,∨,→,↔)的括号可省略
命题等价:真值表相同
基础等价公式
等 价 公 式 的 证 明 方 法 ： 列 真 值 表 法 或 等 价 公 式 变 换 \textcolor{#228B22}{等价公式的证明方法：列真值表法或等价公式变换} 等价公式的证明方法：列真值表法或等价公式变换
重言式(永真式)与矛盾式(永假式)
重言蕴含式：
当 且 仅 当 A → B ⇔ T ， 称 A 重 言 蕴 含 B , 记 作 A ⇒ B 当且仅当A\rightarrow B \Leftrightarrow T ，称A\mathrm{重言蕴含}B,\mathrm{记作}A\Rightarrow B 当且仅当A→B⇔T，称A重言蕴含B,记作A⇒B
重 言 蕴 含 式 A ⇒ B 成 立 的 证 明 { 假 设 A 为 真 ， 推 出 B 为 真 假 设 B 为 假 ， 推 出 A 为 假 \mathrm{重言蕴含式}A\Rightarrow B\mathrm{成立的证明}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{假设}A\mathrm{为真}，\mathrm{推出}B\mathrm{为真}\\\mathrm{假设}B\mathrm{为假}，\mathrm{推出}A\mathrm{为假}\end{array}\right. 重言蕴含式A⇒B成立的证明{
假设A为真，推出B为真假设B为假，推出A为假
基础重言蕴含式
范式
析取范式与合取范式
析 取 范 式 : 合 取 范 式 : 析取范式:\\ 合取范式:\\ 析取范式:合取范式:
求 析 取 范 式 与 合 取 范 式 的 方 法 ： 去 掉 → 和 ↔ ( Q ↔ R 可 以 换 成 ( Q ∧ R ) ∨ ( ¬ Q ∧ ¬ R ) ) 将 ¬ 放 到 命 题 变 元 前 用 等 价 变 换 的 方 法 将 公 式 整 理 到 目 标 形 式 求析取范式与合取范式的方法：\\ \mathrm{去掉}\rightarrow 和\leftrightarrow(Q\leftrightarrow R可以换成(Q\wedge R)\vee(\neg Q\wedge \neg R) )\\ 将\neg\mathrm{放到命题变元前}\\ \mathrm{用等价变换的方法将公式整理到目标形式} 求析取范式与合取范式的方法：去掉→和↔(Q↔R可以换成(Q∧R)∨(¬Q∧¬R))将¬放到命题变元前用等价变换的方法将公式整理到目标形式
否定前移：
主析取范式和主合取范式
主 析 取 范 式 : 将 命 题 公 式 写 为 小 项 的 析 取 主 合 取 范 式 : 将 命 题 公 式 写 为 大 项 的 合 取 主析取范式:将命题公式写为小项的析取\\ 主合取范式:将命题公式写为大项的合取\\ 主析取范式:将命题公式写为小项的析取主合取范式:将命题公式写为大项的合取
小 项 ： n 个 命 题 变 元 的 合 取 式 ， 每 个 变 元 出 现 且 仅 出 现 一 次 ( 以 本 身 或 者 否 定 形 式 ) 仅 含 有 两 个 命 题 变 元 的 全 部 小 项 ¬ P ∧ ¬ Q , ¬ P ∧ Q , P ∧ ¬ Q , P ∧ Q ( 所 有 小 项 的 析 取 式 为 永 真 式 ) 以 上 小 项 对 应 的 编 码 ： m 0 , m 1 , m 2 , m 3 ( m 00 , m 01 , m 10 , m 11 ) 注 意 编 码 的 变 化 ， 由 二 进 制 专 为 了 十 进 制 求 主 析 取 范 式 需 要 先 求 吸 取 范 式 ， 用 ¬ P ∨ P 补 项 后 用 分 配 律 调 整 得 到 \tiny 小项：n个命题变元的合取式，\\ 每个变元出现且仅出现一次(以本身或者否定形式)\\ 仅含有两个命题变元的全部小项¬P∧¬Q,¬P∧Q,P∧¬Q,P∧Q(所有小项的析取式为永真式)\\ 以上小项对应的编码：m_{0},m_{1},m_{2},m_{3}(m_{00},m_{01},m_{10},m_{11})注意编码的变化，由二进制专为了十进制\\求主析取范式需要先求吸取范式，用\neg P\vee P补项后用分配律调整得到 小项：n个命题变元的合取式，每个变元出现且仅出现一次(以本身或者否定形式)仅含有两个命题变元的全部小项¬P∧¬Q,¬P∧Q,P∧¬Q,P∧Q(所有小项的析取式为永真式)以上小项对应的编码：m0,m1,m2,m3(m00,m01,m10,m11)注意编码的变化，由二进制专为了十进制求主析取范式需要先求吸取范式，用¬P∨P补项后用分配律调整得到
大 项 ： n 个 命 题 变 元 的 析 取 式 ， 每 个 变 元 出 现 且 仅 出 现 一 次 ( 以 本 身 或 者 否 定 形 式 ) 仅 含 有 两 个 命 题 变 元 的 全 部 大 项 P ∨ Q , P ∨ ¬ Q , ¬ P ∨ Q , ¬ P ∨ ¬ Q ( 所 有 大 项 的 析 取 式 为 永 假 式 ) 以 上 小 项 对 应 的 编 码 ： M 0 , M 1 , M 2 , M 3 ( M 00 , M 01 , M 10 , M 11 ) 注 意 编 码 的 变 化 ， 由 二 进 制 专 为 了 十 进 制 编 码 对 应 的 是 使 得 小 项 取 值 为 真 ， 大 项 取 值 为 假 的 赋 值 \tiny 大项：n个命题变元的析取式，\\ 每个变元出现且仅出现一次(以本身或者否定形式)\\ 仅含有两个命题变元的全部大项P ∨Q,P∨¬Q,¬P∨Q,¬P∨¬Q(所有大项的析取式为永假式)\\ 以上小项对应的编码：M_{0},M_{1},M_{2},M_{3}(M_{00},M_{01},M_{10},M_{11})注意编码的变化，由二进制专为了十进制\\ 编码对应的是使得小项取值为真，大项取值为假的赋值 大项：n个命题变元的析取式，每个变元出现且仅出现一次(以本身或者否定形式)仅含有两个命题变元的全部大项P∨Q,P∨¬Q,¬P∨Q,¬P∨¬Q(所有大项的析取式为永假式)以上小项对应的编码：M0,M1,M2,M3(M00,M01,M10,M11)注意编码的变化，由二进制专为了十进制编码对应的是使得小项取值为真，大项取值为假的赋值
推理
推理的方法
推 理 方 法 P 1 ∧ P 2 ∧ P 3 ⇒ Q { 直 接 推 理 间 接 推 理 { 条 件 论 证 ( P 1 ∧ P 2 ⇒ P 3 → Q ) 反 证 法 ( P 1 ∧ P 2 ∧ P 3 ∧ ¬ Q ⇔ F ) \begin{array}{c}\mathrm{推理方法}\\P_1\wedge P_{2\;}\wedge P_3\Rightarrow Q\\\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{直接推理}\\\mathrm{间接推理}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{条件论证}(P_1\wedge P_2\Rightarrow P_3\rightarrow Q)\\\mathrm{反证法}(P_1\wedge P_2\wedge P_3\wedge\neg Q\Leftrightarrow F)\end{array}\right.\end{array}\right. 推理方法P1∧P2∧P3⇒Q⎩⎨⎧直接推理间接推理{ 条件论证(P1∧P2⇒P3→Q)反证法(P1∧P2∧P3∧¬Q⇔F)
推理的规则
推 理 的 规 则 { P 规 则 ( 证 明 过 程 中 引 入 初 始 条 件 ) T 规 则 ( 证 明 过 程 中 引 入 中 间 结 论 ) C P ( C o n d i t i o n a l P r o o f ) 规 则 ( 使 用 条 件 论 证 ) \mathrm{推理的规则}\left\{\begin{array}{l}P\mathrm{规则}(\mathrm{证明过程中引入初始条件})\\T\mathrm{规则}(\mathrm{证明过程中引入中间结论})\\CP(Conditional\;Proof)\mathrm{规则}(\mathrm{使用条件论证})\end{array}\right. 推理的规则⎩⎨⎧P规则(证明过程中引入初始条件)T规则(证明过程中引入中间结论)CP(ConditionalProof)规则(使用条件论证)