第一篇 数理逻辑

第一章 命题逻辑(Propositional Logic)

1-1 命题及其表示法

具有确定真值的陈述句叫做命题(Proposition)。
命题有两种类型：不能分解为更简单的陈述语句的称为原子命题(Atomic Proposition)；
由联结词，标点符号和原子命题复合构成的命题称为复合命题（Compound Proposition）。
命题常用大写字母或带下标的大写字母或数字表示，如 $A$， $B_i$， $[12]$等,这些符号称为命题标识符。

1-2 联结词（Connectives、Logical Operator）

$\neg$：否定、非（Negation）
$\wedge$合取、且（Conjunction）
$\vee$：析取、或（Disjunction、Inclusive Or）
$\oplus$:异或（Exclusive Or）
$\rightarrow$：条件语句、蕴含（Implication）
$\leftrightarrow$：双向条件语句、双向蕴含（Bi-implication）

Truth Table

条件语句

含义：
a necessary condition for p is q
a sufficient condition for q is p
衍生：
q →p is the converse of p →q — （逆命题）
¬ p → ¬ q is the inverse of p →q （逆否命题）
¬q → ¬ p is the contrapositive of p →q — （否命题）

双条件

含义：
p if and only if q
p is necessary and sufficient for q
if p then q , and conversely
p iff q

联结词优先级（Precedence of Logical Operators ）

1-3 真值表与等价命题

定义 1 - 4.1
在命题公式中，对于分量指派真值的各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。
n个原子命题，真值表有 $2^n$行，每个原子命题都有T or F 两种指派。

定义 1 - 4.2
给定两个命题公式 $A$ 和 $B$ ，设 $P_1,P_2,\cdots,P_n$ 为所有出现于 $A$ 和 $B$ 中的原子变元，若给 $P_1,P_2,\cdots,P_n$ 任一组真值指派， $A$ 和 $B$ 的真值都相同，则称 $A$ 和 $B$ 是等价的或逻辑相等的。记作 $A\Leftrightarrow B$ 。
i.e. 等价命题（Equivalent Propositions）
两个命题是等价的，如果它们始终具有相同的真值。

所以，如果我们想证明两个命题 （逻辑相等）Equivalence或者（逻辑不相等）Non-Equivalence，就可以使用真值表来证明。

1-4逻辑等价式

永真式（Tautologies）

定义 1 - 5.1
给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为 $\pmb{T}$ ，则称该命题公式为重言式或永真公式。

永假式（Contradictions）

定义 1 - 5.2
给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为 $\pmb{F}$ ，则称该命题公式为矛盾式或永假公式。

定义 1 - 5.3
设 $A$ 和 $B$ 为两个命题公式， $A \equiv B$ 当且仅当 $A \leftrightarrow B$ 为一个重言式。

定义 1 - 5.4
当且仅当 $P \rightarrow Q$ 是一个重言式时，我们称“ $P$ 蕴含 $Q$ ”，并记作 $P \Rightarrow Q$ 。

定理 1 - 5.1
任何两个重言式的合取或析取，仍然是一个重言式。

定理 1 - 5.2
设 $P$ 和 $Q$ 为任意两个命题公式， $P \Leftrightarrow Q$ 的充分必要条件是 $P \Rightarrow Q$ 且 $Q \Rightarrow P$ 。

Key Logical Equivalences

More key Logical Equivalences

附上的两张表：