如何扩张数据结构

对基本数据进行扩张以支持一些附加功能，在算法设计过程中是相当常见的。所以扩张一种数据结构大概可以分为如下4个步骤：

• 选择一种基础数据结构
• 确定基础数据结构中要维护的附加信息
• 检验基础数据结构上的基本修改操作能否维护附加信息
• 设计一些新操作

以上仅作为一个一般模式，大多数的设计工作都包含试探和纠错的成分，过程中所有步骤通常可以并行进行

区间树

扩张红黑树来支持由区间构成的动态集合上的一些操作。闭区间（closed interval）是一个实数的有序对 $[t_1,t_2]$，其中 $t_1\le t_2$，区间$[t_1,t_2]$表示了集合 { t ∈ R : t 1 ≤ t ≤ t 2 } \{ t \in R: t_1 \le t \le t_2\} { t∈R:t1​≤t≤t2​}，开区间和半开区间分别略去了集合的两个或一个端点。
我们可以把一个区间$[t_1,t_2]$表示成一个对象$i$，其中属性$i.low=t_1$为低端点，属性$i.high=t_2$为高端点，我们称区间$i$和$i^1$重叠，如果$i\cap i^1\ne \varphi$，即如果$i.low\le i^1.high$ 且$i^1.low\le i.high$。如下图所示：任何两个区间$i$和$i^1$满足区间三分律，即下面三条性质之一成立：

a. $i$和$i^1$重叠
b. $i$在$i^1$的左边（$i.high<i^1.low$)
c. $i$在$i^1$的右边（$i^1.hight<i.low$)

区间树是一种对动态集合进行维护的红黑树，其中每个元素$x$都包含一个区间$x.int$，下图说明了区间树是如何表达一个区间集合的。

一棵区间树，（a）10个区间的集合，它们按左端点自底向上顺序出，（b)表示它们的区间树，每个节点$x$包含一个区间，显示在虚线的上方，一个以$x$为根的子树中所包含的区间端点的最大值，显示在虚线的下方。

• 步骤1：基础数据结构
  选择一棵红黑树，其每个节点$x$包含一个区间属性$x.int$，且$x$的关键字为区间的低端点$x.int.low$

• 步骤2：附加信息
  每个节点$x$中除了自身区间信息之外，还包含一个值$x.max$，它是以$x$为根的子树中所有区间的端点的最大值

• 步骤3：对信息的维护
  $n$个节点的区间树上的插入和删除操作能否在$O(lgn)$时间内完成。通过给定区间$x.int$和节点$x$的子节点的$max$值，可以确定$x.max$值：$$x.max=max(x.int.high,x.left.max,x.right.max)$$
  更新$max$属性只需要$O(1)$的时间，所以插入和删除操作运行时间保持为$O(lgn)$

• 步骤4：设计新的操作
  我们需要设计一个新的操作 interval_search(T, i)，它是用来找出树T中与区间$i$重叠的那个节点。
  如下为实现函数：

def interval_search(T, i):
	x = T.root
	# i does not overlap x.int
	while x!=T.nil and not (i.low<=x.high and x.low<=i.high):
		if x.left!=T.nil and x.left.max>=i.low:
			x = x.left
		else:
			x = x.right
	return x