动态顺序统计：

一棵顺序统计量树T通过简单地在红黑树的每个结点存入附加信息而成。在一个结点x内，除了包含通常的红黑树的域key[x] ,
color[x] , p[x], left[x]和right[x] , 还包括域size[x]。

这个域中包含以结点x为根的子树的（内部）结点数（包括x本身），即子树的大小。如果定义哨兵为0, 也就是设置size[nil[T]] 为0，则有等式
size[x] ＝ size [left[x]]+ size[right[x]]+1

如：

检索具有给定排序的元素：

过程 OS-SELECT(x, i) 返回一个指向以 x 为根的子树中包含第 i 小关键字的结点的指针。为找出顺序统计树 T 中的第 i 小关键字，调用过程 OS-SELECT(T.root, i) 。

伪代码：

OS-SELECT(x, i)
    r = x.left.size + 1
    if i == r
        then return x
    else if i < r
        return OS-SELECT(x.left, i)
    else return OS-SELECT(x.right, i)

值size[left[x]]表示在对以x为根的子树进行中序退历时排在x之前的结点个数。这样， size[left[x]+1]即为以x为根的子树中x的排序。

对含n个元素的动态集合， OS-SELECT 的运行时间为O(lgn)。

OS-SELECT 的第1行计算以x为根的子树中结点x的排序r 。如果i=r, 结点x 就是第i小元素，返回第3行的x。如果i<r, 则第t小元素就在x的左子树中，故在第5行中对left[x]进行递归调用。如果i>r, 则第i 小元素在x的右子树中。因为在对以x为根的子树进行中序遍历时，共有r个元素在x的右子树前，故在以x为根的子树中第i小元素即为以right[x]为根的子树中第(i-r)小元素。第6行进一步递归地确定这个元素。

确定一个元素的秩：

给定指向一顺序统计树T中结点x的指针，过程 OS-RANK 返回在对T进行中序遍历后得到的线性序中x的位置。

伪代码：

OS-RANK(T, x)
    r = x.left.size + 1
    y = x
    while y != T.root
        if y == y.p.right
            r = r + y.p.left.size + 1
        y = y.p
    return r

x的秩可以视为在对树的中序遍历中，排在x之前的结点个数再加1（x本身）。在最坏情况下，对含n个结点的顺序统计树， OS-RANK 的运行时间为 O(lgn)。

对子树规模的维护：

插入操作的修改：

1、新节点的插入过程中，需要对从根到将要插入的位置过程中遍历的结点的size加1； 

2、维护红黑树的左旋和右旋函数需要在最后添加以下语句： 

 //左旋
    y.size = x.size;
    x.size = x.left.size + x.right.size +1;
 //右旋
    x.size = y.size;
    y.size = y.left.size + y.right.size +1;

删除操作的修改：

1、如果要删除的结点z少于两个孩子，则从z到根T的过程遍历的结点size减1；如果要删除的结点z多于两个孩子，则从z的后继y处向上到T的过程中，遍历的结点size减1；  

2、也是同样在左右旋过程中，添加以上的语句； 

插入操作和删除操作运行时间都是O(lgn)。

如何扩张数据结构：

对一种数据结构的扩张过程可分为四个步骤：

选择基础数据结构；

确定要在基础数据结构中添加哪些信息；

验证可用基础数据结构上的基本修改操作来维护这些新添加的信息；

设计新的操作。

对红黑树的扩张：

选择数据结构（红黑树）；

决定附加信息（计算节点子树大小）；

验证数据结构不受修改操作影响（插入删除后需旋转）；

在新的结构上进行新的操作。

动态有序统计：（SELECT在动态集中返回第i小的数，RANK在有序集中返回排名为i的元素）

对于一个无序的集合，能够在O(n)的时间内确定任何的顺序统计量，我们要修改红黑树，使得在O(lgn)时间内确定任何的顺序统计量。

顺序统计树: 在每个结点上存储附加信息的一棵红黑树；

附加属性x.size = x.left.size + x.right.size + 1；

维护size时间复杂度：O(1)。所以插入、删除，包括维护size属性，都只需要O(lgn)时间。

OS-SELECT( x, i ) // 过程返回一个指针，指向以x为根的子树中包含第i小关键字的结点 
    r= x.left.size + 1 
    if i == r 
        return x 
    else if i < r 
        return OS-SELECT( x.left, i ) 
    else 
        return OS-SELECT( x.right, i - r ) 

OS-RANK( T, x ) // 过程返回T中序遍历对象的线性序中x的位置 
    r= x.left.size + 1 
    y= x 
    while y != T.root 
        if y == y.p.right 
            r += y.p.left.size + 1 
        y = y.p 
    return r 

区间树：

在这里，我们要扩展红黑树以支持由区间构成的动态集合上的操作（假设区间都是闭区间）。一个闭区间是一个实数的有序对[ t1, t2]，其中 t1 <= t2 。我们可以把一个区间[ t1, t2 ]表示成一个对象，其各个域为 i.low = t1 （低端点）， i.high = t2 （高端点）。任意两个区间 i 和 i' 都满足 区间三分法 ，即：

i 和 i' 重叠（ i.low <= i'.high ，且 i'.low <= i.high ）；

i 在 i' 左边（ i.high < i'.low ）；

i 在 i' 右边（ i'.high < i.low ）；

区间树是一种对动态集合进行维护的红黑树，该集合中的每个元素 x 都包含一个区间 x.int 。区间树支持下列操作：

INTERVAL-INSERT(t, X) ：将包含区间域 int 的元素 x 插入到区间树 T 中。

INTERVAL-DELETE(T, x) ：从区间树 T 中删除元素 x 。

INTERVAL-SEARCH(T, i) ：返回一个指向区间树 T 中元素 x 的指针，使 x.int 与 i 重叠；否则返回 T.nil 。

如：

步骤1：基础数据结构

基础数据结构为红黑树，其中每个结点 x 包含一个区间域 x.int ， x 的关键字为区间的低端点 x.int.low 。

步骤2：附加信息

每个结点还要包含一个值 x.max ，即以 x 为根的子树中所有区间的端点的最大值。

步骤3：维护信息

必须验证对含n个结点的区间树的插入和删除能在 O (lgn)时间内完成。给定区间 x.int 和 x 的子结点的 max 值，可以确定 

x.max =max( x.int.high ,x.left.max , x.right.max )。

步骤4：设计新操作

唯一需要的新操作是 INTERVAL-SEARCH 。

它用来找出树T中覆盖区间i的那个结点。如果树中覆盖i的区间不存在，则返回指向哨兵nil[T] 的指针。

伪代码：

INTERVAL-SEARCH(T, i)
    x = T.root
    while x != T.nil and i does not overlap x.int
        if x.left != T.nil and x.left.max >= i.low
            x = x.left
        else x = x.right
    return x

分支if执行时，如果在以x.left为根的子树中，没有与i重叠的区间，则树的其他部分也不会包含与i重叠的区间。

分析：

有x.left.max >= i.low，根据max属性定义，在x的左子树中必定存在某区间i'，满足：i'.high = x.left.max >= i.low，如果i与i'不重叠，则i.high < i'.low <= i''.low，其中i''为右子树中任意区间，所以右子树也不包含与i重叠的区间。

如：

修改后的红黑树：

修改红黑树得到的区间树：

从图可以看出，对区间树以每个节点的左端点值进行中序遍历即可得到有序的序列。