前言:
比赛的时候已经确定是字典树了.细节没想清楚.算是一道模板题吧,但是我还没写出来(
题目大意:
给你一个序列 a i a_i ai.问你有多少个数对 ( i , j ) (i,j) (i,j)使得 l ≤ a i ⊕ a j ≤ h l \leq a_i\oplus a_j \leq h l≤ai⊕aj≤h.
题目思路:
分成两段求.问题变成考虑枚举每一个 a i a_i ai,如何快速求序列中有多少个数异或它 ≤ x \leq x ≤x.
对序列建立字典树。在字典树上搜索。
具体做法:
从最高位开始考虑:设当前数为 a i a_i ai,当前在第 j j j位,上界是 l i m lim lim.
如果我们在第 j j j位填写 ! a i , j !a_{i,j} !ai,j.那么这一位会产生 2 j 2^j 2j的贡献。分两种情况:
1. l i m < 2 j 1.lim < 2^j 1.lim<2j,那么现在不能填不同的数,必须填相同的数。那么递归往 a i , j a_{i,j} ai,j走。
2. l i m ≥ 2 j 2.lim \geq 2^j 2.lim≥2j,那么现在都可以填。
2.1 如果填相同的,那么二进制位 [ 0 , j − 1 ] [0,j-1] [0,j−1]就可以随便填了。直接加上子树sz.
2.2 如果填不同的,那么再递归求解。
递归出口:到叶子节点后返回sz.
合理性:
其实这个过程是枚举 l i m lim lim的所有 1 1 1的位置进行计算的。
因为任意一个数 x ≤ l i m x \leq lim x≤lim,从二进制的角度来看一定 是 x x x和 l i m lim lim有一段前缀是相同的,直到某一位 l i m i = 1 lim_i=1 limi=1但 x i = 0 x_i=0 xi=0.
那计算小于等于 l i m lim lim的个数就是枚举每一个 l i m i = 1 lim_i=1 limi=1的位置,前缀保证一样,计算所有后继的个数。这个过程就在字典树上 d f s dfs dfs来完成即可。
复杂度:
显然,复杂度为: O ( n l o g ( m a x a ) ) O(nlog(max_a)) O(nlog(maxa))
AC代码:
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define vi vector<int>
#define vll vector<ll>
#define fi first
#define se second
const int maxn = 20005 * 15 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
class Solution {
public:
int tr[maxn][2] , sz[maxn] , cnt;
void add (int x){
int now = 0;
sz[now]++;
for (int i = 16 ; i >= 0 ; i--){
int d = ((x >> i) & 1);
if (!tr[now][d]) tr[now][d] = ++cnt;
now = tr[now][d];
sz[now]++;
}
}
ll dfs (int id , int dep , int val , int lim) {
if (dep == -1) return sz[id];
int d = (val >> dep) & 1 , p = (1 << dep);
ll ans = 0;
if (lim < p) {
if (tr[id][d]) ans += dfs(tr[id][d] , dep - 1 , val , lim);
}else {
if (tr[id][d]) ans += sz[tr[id][d]];
if (tr[id][!d]) ans += dfs(tr[id][!d] , dep - 1 , val , lim - p);
}
return ans;
}
int countPairs(vector<int>& a, int x, int y) {
ll ans = 0;
int n = a.size();
for (int i = 0 ; i < n ; i++){
ll l = dfs(0 , 16 , a[i] , x - 1) , h = dfs(0 , 16 , a[i] , y);
ans += h - l;add(a[i]);
}
return ans;
}
};