问题描述与分析
问题
以换硬币问题来讲解一下动态规划解题4步曲:
你有三种硬币,分别面值2元,5元和7元,每种硬币都有足够多。买一本书需要27元。不需要对方找钱,如何用最少的硬币组合正好付清 ?
关键词“用最少的硬币组合”——求最值问题,可以用动态规划来解决。
简单分析
正常人第一反应思路:
最少硬币组合?
优先使用大面值硬币——7+7+7+5=26 额?可求解目标是27啊……
改算法——7+7+7+2+2+2=27,总共用了6枚硬币正好27元.
实际正确答案:7+5+5+5+5=27,才用了5枚硬币。
所以这里贪心算法是不正确的。
解题思路
动态规划解题套路用起来。
第一步:确定状态
状态在动态规划中的作用属于定海神针。解动态规划时需要开一个数组,这里的“状态”就是指数组的每个元素f[i]或f[i][j]代表什么。
确定状态需要两个意识:最后一步和子问题
1.最后一步
这道题中,我们不知道最优策略是什么,但最优策略肯定是K枚硬币a1,a2……aK面值加起来是27。
这里的“最后一步”就是存在最后一枚硬币aK。
除去aK,前面的硬币面值和为27-aK。
这里有两个关键点:
① 我们不关心前面的K-1枚硬币是怎么拼出27-aK的,我们也不知道aK和K,但是我们确定前面的硬币拼出了27-aK。
② 因为是最优策略,所以拼出的27-ak硬币数一定要最少,否则就不是最优策略。
2.子问题
现在问题变成了:最少用多少枚硬币可以拼出27-aK。也就是将原问题(27)转化成了一个子问题,而且规模更小(27-aK)。
这种与原问题内核一致,但是规模更小的问题,就叫子问题。
为了简化定义,我们设状态f(X)=最少用多少枚硬币拼出X。所以问题就从求f(X)变成求f(X-aK)
我们目前还不知道最后的硬币aK面额多少,但它的面额一定只可能是2/5/7之一。
如果aK是2,f(27)应该是f(27-2) + 1 (加上最后这一枚面值2的硬币)
如果aK是5,f(27)应该是f(27-5) + 1 (加上最后这一枚面值5的硬币)
如果aK是7,f(27)应该是f(27-7) + 1 (加上最后这一枚面值7的硬币)
除此以外,没有其他的可能了。
因为要求最少的硬币数,所以问题的解就可以这样表示:
f(27) = min{f(27-2)+1, f(27-5)+1, f(27-7)+1}
第二步:转移方程
设状态f[X]=最少用多少枚硬币拼出X
对于任意X,f[X] = min{f[X-2]+1, f[X-5]+1, f[X-7]+1}
如果正确列出转移方程,问题基本就解决一半了。
大家基本也可以做到写出状态转移方程,但真正写程序的时候往往会出现很多错误或问题。
这就涉及到在在代码前的两个重要步骤,就是我们4步解题法的第三步和第四步。
第三步:初始条件和边界情况
f[X] = min{f[X-2]+1, f[X-5]+1, f[X-7]+1}的边界情况是X-2, X-5或者X-7不能小于0(硬币面值为正)
故对边界情况设定如下:
如果硬币面值不能组合出Y,就定义f[Y]=正无穷
例如f[-1]=f[-2]=…=正无穷;
f[1] =min{f[-1]+1, f[-4]+1,f[-6]+1}=正无穷,表示拼不出1
特殊情况:本题的F[0]对应的情况为F[-2]、F[-5]、F[-7],按照上文的边界情况设定结果是正无穷。
但是实际上F[0]的结果是存在的(即使用0个硬币的情况下),F[0]=0。
这种用转移方程无法计算,但是又实际存在的情况,就必须通过手动定义。
所以这里定义初始条件为:F[0]=0.
而从0之后的数值是没矛盾的,比如F[1]= F[1-2]+1= F[-1]+1=正无穷(正无穷加任何数结果还是正无穷);F[2]= F[2-2]+1= F[0]+1=1……
第四步,确定计算顺序
那么开始计算时,是从F[1]、F[2]开始?还是从F[27]、F[26]开始呢?
判断计算顺序正确与否的原则是:
当我们要计算F[X](等式左边,如F[10])的时候,等式右边(f[X-2], f[X-5], f[X-7]等)都是已经得到结果的状态,这个计算顺序就是OK的。
实际就是从小到大的计算方式(偶有例外的情况我们后边再讲)。
例如我们算到F[12]的时候,发现F[11]、F[10]、F[9]都已经算过了,这种算法就是对的;
而开始算F[27]的时候,发现F[26]还没有算,这样的顺序就是错的。
很显然这样的情况下写一个FOR循环就够了。
回到这道题,采用动态规划的算法,每一步只尝试三种硬币,一共进行了27步。算法时间复杂度(即需要进行的步数)为27*3。
原题练习:
这道题是lintcode 669:Coin Change
总结
动态规划解题4步曲
a)确定状态
- 研究最优策略的最后一步
- 转化为子问题
b)转移方程
- 根据子问题定义直接得到
c)初始条件和边界情况
- 细心,考虑周全
d)计算顺序
- 利用之前的计算结果
按照以上4步套路,基本上可以解决绝大多数类型的动态规划题。