教材|线性代数(上海交通大学第三版)
文章目录
第一章|行列式
1.1行列式的概念
行列式
-
定义
-
性质
-
计算方法
-
用行列式求解特殊的线性方程组的克拉默法则
二阶行列式
2^2个数,2!项的代数和。
二阶行列式的表示:
D=a11a22-a12a21 | 即对角线的乘积之差 |
---|---|
a11 | a12 |
a21 | a22 |
-
a11、a22所代表的是主对角线,a21、a12所代表的是次对角线。
-
可以把二阶行列式叫做det A或者det D2;det(aij)或者det|aij|。
二阶行列式的应用
- 求解二元一次方程组
a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a11x1+a12x2=b1 a11x1+a12x2=b1
a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 a21x1+a22x2=b2 a21x1+a22x2=b2
消元求解。
D1= | |
---|---|
第一列 | 原行列式 |
b1 | a12 |
b2 | a22 |
D2= | |
---|---|
原行列式 | 第二列 |
a11 | b1 |
a21 | b2 |
解得二阶行列式为:
x1=D1/D,X2=D2/D;
逆序数表示:
( − 1 ) t ( 1 , 2 ) ∗ a 11 a 22 + ( − 1 ) t ( 2 , 1 ) ∗ a 12 a 21 (-1)^t(1,2) *a11a22+(-1)^t(2,1) *a12a21 (−1)t(1,2)∗a11a22+(−1)t(2,1)∗a12a21
逆序数为次方项。
三阶行列式
D= | a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 | -a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32 |
---|---|---|
a11 | a12 | a13 |
a21 | a22 | a23 |
a31 | a32 | a33 |
n阶排列
2^n个数,n!种排列;
自然排列
a 1 a 2 a 3.... a n − 1 a n a1a2a3....an-1an a1a2a3....an−1an
逆序与逆序数
-
t代表逆序数。
-
n阶排列种逆序的个数
-
为奇数——奇排列
-
为偶数——偶排列
-
判断:
-
n ( n − 1 ) / 2 ! = 2 k n(n-1)/2!=2k n(n−1)/2!=2k
n ( n − 1 ) ! = 4 k n(n-1)!=4k n(n−1)!=4k
n = 4 m / 4 m + 1 — — 偶 n=4m/4m+1——偶 n=4m/4m+1——偶
n = 4 m + 2 / 4 m + 3 — — 奇 n=4m+2/4m+3——奇 n=4m+2/4m+3——奇
-
-
-
表示:
-
t ( a 1 a 2 a 3... a n ) 逐 个 ! t(a1a2a3...an)逐个! t(a1a2a3...an)逐个!
-
t ( p 1 p 2 p 3.... p n ) t(p1p2p3....pn) t(p1p2p3....pn)
-
-
范围:
0 = < t < = n ( n − 1 ) / 2 0=<t<=n(n-1)/2 0=<t<=n(n−1)/2
自然排列的逆序数为:
t ( n ( n − 1 ) . . . 321 ) = n ( n − 1 ) / 2 ; t(n(n-1)...321)=n(n-1)/2; t(n(n−1)...321)=n(n−1)/2;
n阶行列式
- n个元素的乘积的代数和称为n阶行列式。
- n^2个数排成n行n列的正方形。
图
D= | |||
---|---|---|---|
a11 | a12 | … | a1n |
a21 | a22 | … | a2n |
… | … | … | … |
an1 | an2 | … | ann |
1.2行列式的性质
上三角和下三角
=对角线上元素的乘积,连乘符号Π
主对角和次对角。
次对角(反方向的):
图图
对换
(i,j)位置
- 连续偶次对换,排列不变
- 对换后一一映射
- 偶——奇
- 奇——偶
- n>=2时,奇=偶=n!/2,逆序数相等
转置
类似于二维数组的翻转——aij-->aji
,D^T/D‘
a1,p1[行标自排]–>ap1,1[列标自排] ==》D=D^T,转置后行列式的值不变~
互换行
ri-->rj
-
行列式反号,加个负号;
-
因为D=-D,所以D=0。
若两行或两列元素相等,则行列式等于零。
数乘
某一行所有元素都乘以数k,等于用数k乘此行列式,它的逆否命题也是正确的~
kD
就等于某amn*k,am(n+1)k…
只能乘某一行或某一列,不能都乘!
某两行的元素成比例,则行列式等于零。
行列式拆分
ai1+bi1,ai2+bi2
…它们是两个行列式的和,具体写为:
a1k | a1m |
ai1+bi1 | ai2+bi2 |
a2k | a2m |
=
a1k | a1m |
ai1 | ai2 |
a2k | a2m |
a1k | a1m |
bi1 | bi2 |
a2k | a2m |
只能拆其中一行(列),其他位置必须一样!
倍加
某一行(列)的各个元素加上另一行(列)对应元素的k倍,行列式的值不变。
D____rm+crk___D’
具体写为:
D=
ai1 | ai2 |
ak1 | ak2 |
aj1 | aj2 |
=
ai1 | ai2 |
c*ai1+ak1 | c*ai2+ak2 |
aj1 | aj2 |
=D’
1.3行列式的计算
特点行列式的计算
各行(列)的元素和相同,则行列式的值为零
c代表列;
D____c3-2c2___=0
对称行列式
-
表示:D=|aij|n
-
aij=aji,i、j=1,2,3.....,n
反对称
- 对角线元素都等于零
- aij=-aji
奇数阶的反对称矩阵=转置DT,而DT=-D,所以D=-D=0;
余子式M
余下的子行列式
降阶
代数余子式:Aij=(-1)^(i+j) *Mij
- 注意只和位置有关
n阶行列式的第i行除了第j列的元素aij外,全为零
则D=aijAij;
n行为ann。
特殊:
a n n A n n = a n n ∗ ( − 1 ) ( n + n ) M n n / A n n annAnn=ann*{(-1)^(n+n)Mnn/Ann} annAnn=ann∗(−1)(n+n)Mnn/Ann
交换相邻两行n-i次
一般:
行:D=(-1)^(n-i)
列:D=(-1)^(n-j)
D = a i j ( − 1 ) ( i + j ) M i j = a i j A i j D=aij(-1)^(i+j)Mij=aijAij D=aij(−1)(i+j)Mij=aijAij
展开定理
D=|aij|n
D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=
图!
展开和性质一起使用,余子式仅与位置有关。
) *Mij`
- 注意只和位置有关
n阶行列式的第i行除了第j列的元素aij外,全为零
则D=aijAij;
n行为ann。
特殊:
a n n A n n = a n n ∗ ( − 1 ) ( n + n ) M n n / A n n annAnn=ann*{(-1)^(n+n)Mnn/Ann} annAnn=ann∗(−1)(n+n)Mnn/Ann
交换相邻两行n-i次
一般:
行:D=(-1)^(n-i)
列:D=(-1)^(n-j)
D = a i j ( − 1 ) ( i + j ) M i j = a i j A i j D=aij(-1)^(i+j)Mij=aijAij D=aij(−1)(i+j)Mij=aijAij
展开定理
D=|aij|n
D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=
图!
展开和性质一起使用,余子式仅与位置有关。
编写于2021/3/21日;
一改于2021/3/26日。