2 Constraint satisfaction problems: examples

2.4 Boolean constraint satisfaction problems

0. Q: 相比直接写出函数表达式，用CSP的思想在处理full adder时有什么好处？
   A:

draw in a systematic way more complex conclusions.

具体地，例如除了由$i_1,i_2,i_3$直接计算$o_1,o_2$，还可能$i_3=0,o_2=1$推出$i_1=i_2=1,o_1=0$等。

1. Q: $k$元谓词one的析取范式是什么？
   A: $(\sim s_1\wedge \cdots \wedge \sim s_{k-1}\wedge s_k)\vee (\sim s_1\wedge \cdots \wedge s_{k-1}\wedge \sim s_k)\vee \cdots \vee (s_1\wedge \cdots \wedge \sim s_{k-1}\wedge \sim s_k)$
2. Q: 用boolean CSP处理八皇后问题时，有多少条形如$\sim (x_{i,j}\wedge x_{k,l})$的约束用来表示“对角线”方向？
   A: 特别注意$i\ne k$.
   $2\cdot (2C_2^2+2C_3^2+\cdots +2C_7^2+C_8^2)$

2.5 Symbolic constraint satisfaction problems

0. Q: 解说 C 1 , 2 = { ( H O S E S , S A I L S ) , ⋯   , ( L A S E R , S T E E R ) } C_{1,2}=\{(HOSES,SAILS),\cdots,(LASER,STEER)\} C1,2​={ (HOSES,SAILS),⋯,(LASER,STEER)}的来源和含义。
   A: $x_i$表示i打头的行或列填什么单词。每个单词在这里是一个symbol.
   $x_1$和$x_2$构成的有序二元组满足$x_1$的第三个字母是$x_2$的首字母，枚举得到一个元素个数为6的集合，是$D_1\times D_2$的子集。这就是约束$C_{1,2}$.
   注：把单词而不是字母当成symbol，因此才需要枚举。否则直接形式化的说“$x_1$的第三个字母是$x_2$的首字母”并不需要枚举。
1. Q: 尝试按一定的章法分类13种temporal relations. 并解释13这个数的来源。
   A: 举例：设$A$事件持续区间$[-1,1]$，则$-2,-1,0,1,2$共5个整数共$C_5^2$种可能。再加上before, after, during三种不在$C_5^2$中的。
   注：以上的$A$事件只有两个所谓的“关键时间点”，即开始和结束。照这样计算，一个有$n$个关键时间点的事件与一个有2个关键时间点的事件间的关系有$C_{2n+1}^2+n+1$种可能性。
   思考：有$n$个和有$m$个之间呢？
   再举例（另一种分类方式）：$3\ast 3=9$是$REAL-OVERLAP$（参见课本），即起点的前或中或后至终点的前或中或后。剩下$2\ast 2=4$种，对应两种meet的（紧挨着）和两种完全分开的。
2. Q: 书中对Qualitative Temporal Reasoning的第一种表示，缺点是“无限”，不方便求解。那它有什么好处呢？
   A: 这还是通用和专用的trade-off问题。显然第一种表示更加通用，拓展性强。比如容易拓展至有大于2个“关键时刻”的事件，可以显式表示$a_{start}<b_{start}$这类约束等等。第二种表示更加专用。符合条件时，用专用的表示效率更高。
3. Q: $C_{i,j,k}=T_3\cap (D_{i,j}\times D_{i,k}\times D_{j,k})$是什么意思？
   A: 每一条约束都针对某事件三元组。注意此处每个$x_{i,j}$定义域并不是整个$TEMP$，而是其子集$D_{i,j}$，这其实本质上也是一条约束。
   $T_3$是一个可以事先枚举的集合，其与$i,j$无关。
4. Q: 你认为课本中的Qualitative spatial reasoning有什么缺陷？
   A: 举例：disjoint和meet有区别，但overlap没有区分是否有公共边，分类标准“双标”不清。
   举例：假设了单连通。
5. Q: Analysis of Polyhedral Scenes的第一种表示中，为什么arrow variable的domain中有$(\leftarrow ,\to ,+)$却没有$(\to ,\leftarrow ,+)$（没有对称性）？
   A: 首先，对于arrow形节点，以“中间”线为参考可以唯一定义“左”“中”“右”三边。其次，注意我们这里的边分方向，$\leftarrow ,\to$可以分别表示相对于节点的两个方向（“出入”）。这样的分方向使得不对称性的产生有了可能。
   （对比：Y形节点有某种意义的“旋转”对称性）
   （对比：+或-边不具有方向）
   在此基础上，我们人为定义沿箭头走的右侧是物体，最终造成了不对称的产生。
   注：类似地，书中Analysis of Polyhedral Scenes的第二种表示中，$arrow(FE,FG,FB)$约束也是有序的。
6. Q: Analysis of Polyhedral Scenes的两种表示分别对应什么样的数据结构？
   A: 第一种：以点为图的节点，以边为图的（有向）边，以符号为“权”的有向图。
   第二种：以边为超图的节点（两个方向如$AB,BA$的两条边为两个节点），以点或“反向”关系为超图的（有序）超边，以节点种类或“反向”关系$edge$为“权”的有序超图。