1、Bezout定理推广版本证明

构造集合

$$S=a_0{s}_0+a_1{s}_1+a_2{s}_2+...+a_{n-1}{s}_{n-1}:s_0,s_1,s_2,\dots ,s_{n-1}\in Z且a_0{s}_0+a_1{s}_1+a_2{s}_2+...+a_{n-1}{s}_{n-1}\ge 0$$

在 S 中取最小正值 $$d=a_0{s}_0+a_1{s}_1+a_2{s}_2+...+a_{n-1}{s}_{n-1}$$

设 gcd(a₀ , a₁ …a_n-1) = q
则 a₀ = k₀q, a₁ = k₁q, ……
d = a₀ s₀ + a₁ s₁ + a₂ s₂ + … + a_{n-1} s_{n-1} = q(k₀s₀ + k₁s₁ + k₂s₂ + …… + k_n-1s_n-1)

∴ d | q 即有 d >= q①

令 p = ⌊a₀/d⌋
则有
x = a₀ mod d
= a₀ - pd
= a₀ - p(a₀ s₀ + a₁ s₁ + a₂ s₂ + … + a_{n-1} s_{n-1})
= a₀(1 - ps₀) + a₁(-ps₁) + a₂(-ps₂) + … + a_n-1(-ps_n-1)

∴ x 也是 a₀, a₁, 等的线性组合且 0<=x<s

由于 d 是 a₀, a₁, 等的线性组合的最小正值, 所以 x = 0

∴ d | a₀ , 同理 d | a₁, d | a₂……

∴ d | q 即有 q>=d②

由①②可得 d = q 即 $$gcd(a_0,a_1,...,a_{n-1})=a_0{s}_0+a_1{s}_1+a_2{s}_2+...+a_{n-1}{s}_{n-1}$$

2、

由1、有
$$gcd(a_0,a_1,\dots ,a_{n-1})=a_0{s}_0+a_1{s}_1+...+a_{n-1}{s}_{n-1}=d_0$$
$$gcd(a_1,a_2,\dots ,a_{n-1})=a_1{q}_1+a_2{q}_2+...+a_{n-1}{q}_{n-1}=d_1$$
由Bézout 定理
$$gcd(a_0,gcd(a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}))=a_0{p}_0+d_1{p}_1$$
$$=a_0{p}_0+(a_1{q}_1+a_2{q}_2+...+a_{n-1}{q}_{n-1})p_1=a_0{p}_0+a_1{q}_1{p}_1+a_2{q}_2{p}_1+...+a_{n-1}{q}_{n-1}{p}_1=d_2$$
由于对应的n个数的线性组合唯一且 d₀ 和 d₂ 都是 a₀, a₁, …, a_n-1 的线性组合

所以得证