【概率论与数理统计】1.2 概率的定义及其确定方法

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【配套教材】概率论与数理统计教程（第三版）——茆诗松

1.2.1 概率的公理化定义

设 $\Omega$ 为一个样本空间， $\mathcal{F}$ 为 $\Omega$ 的某些子集组成的一个事件域。如果对任一事件 $A\in\mathcal{F}$ ，定义在 $\mathcal{F}$ 上的一个实值函数P(A)满足：

非负性公理：若 $A\in\mathcal{F}$ ，则 $\geqslant 0$ ；
正则性公理：P( $\Omega$ )=1；
可列可加性公理：若A_1，A_2，…，A_n，…互不相容，则 $P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)=\sum_{i=0}^\infty P(A_i)$

则称P(A)为事件A的概率，称三元素（ $\Omega，\mathcal{F}，P$ ）为概率空间。

1.2.2 排列与组合公式

排列与组合都是计算“从n个元素中任取r个元素”的取法总数公式，其主要区别在于：如果不讲究取出元素的次序，则用组合公式，否则用排列公式。

排列与组合公式的推导都基于如下两条计数原理：

1.乘法原理

如果某事件需经k个步骤才能完成，做第一步有 $m_1$ 种方法，做第二步有 $m_2$ 种方法，…，做第k步有 $m_k$ 种方法，那么完成这件事共有 $m_1\times m_2\times ... \times m_k$ 种方法。

例如，由甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游线路，那么从甲城经乙城去丙城共有3x2=6条旅游线路。

2.加法原理

如果某件事可由k类不同途径之一去完成，在第一类途径中有 $m_1$ 种完成方法，在第二类途径中有 $m_2$ 种完成方法，…，在第k类途径中有 $m_k$ 种完成方法，那么完成这件事共有 $m_1+m_2+...+m_k$ 种方法。

例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具：汽车、火车和飞机。而汽车有8个班次，火车有5个班次，飞机有3个班次，那么从甲城到乙城共有8+5+3=16个班次供旅游者选择。

排列与组合的定义及其计算公式如下。

1.排列

从n个不同元素中任取r（r $\leqslant$ n）个元素排成一列（考虑元素先后出现次序），称此为一个排列，此种排列的总数记为 $P_n^r$ 。按乘法原理，取出的第一个元素有n种取法，取出的第二个元素有n-1种取法，…，取出的第r个元素有n-r+1种取法，所以有
$P_n^r=n\times(n-1)\times...\times(n-r+1)=\frac {n!}{(n-r)!}$
若r=n，则称为全排列，记为 $P_n$ 。显然，全排列 $P_n=n!$ 。

2.重复排列

从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列，此种重复排列数共有 $n^r$ 个。注意：这里的r允许大于n。

3.组合

从n个不同元素中任取r（r $\leqslant$ n）个元素并成一组（不考虑元素间的先后次序），称此为一个组合，此种组合的总数记为 $\binom{n}{r}$ 或 $C_n^r$ 。按乘法原理此种组合的总数为
$\binom{n}{r}=\frac {P_n^r}{r!}=\frac {n(n-1)...(n-r+1)}{r!}=\frac {n!}{r!(n-r)!}$
在此规定 $0 ！ = 1$ 与 $\binom{n}{0}=1$ 。组合具有性质：
$\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}$
4.重复组合

从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r次所得的组合称为重复组合，此种重复组合总数为 $\binom{n+r-1}{r}$ 。注意：这里的r也允许大于n。

上述四种排列组合及其计算公式，在确定概率的古典方法中经常使用，但在使用中要注意识别是否讲次序、是否重复。

1.2.3 确定概率的频率方法

确定概率的频率方法是在大量重复试验中，用概率的稳定值去获得概率的一种方法，其基本思想是：

（1）与考察事件A有关的随机现象可大量重复进行。

（2）在n次重复试验中，记n(A)为事件A出现的次数，又称n(A)为事件A的频数。称
$f_n(A)=\frac {n(A)}{n}$
为事件A出现的概率。

（3）人们的长期实践表明：随着试验重复次数n的增加，频率 $f_n(A)$ 会稳定在某一常数a附近，我们称这个常数为频率的稳定值。这个频率的稳定值就是我们所求的概率。

容易验证：用频率方法确定的概率满足公理化定义，它的非负性与正则性是显然的，而可加性只需注意到：当A与B互不相容时，计算 $\cup B$ 的频数可以分别计算A的频数和B的频数，然后再相加，这意味着 $\cup B)=n(A)+n(B)$ ，从而有
$f_n(A \cup B)=\frac {n(A \cup B)}{n}=\frac {n(A)+n(B)}{n}=\frac {n(A)}{n}+\frac {n(B)}{n}=f_n(A)+f_n(B)$

1.2.4 确定概率的古典方法

确定概率的古典方法是概率论历史上最先开始研究的情形。它简单、直观，不需要做大量重复试验，而是在经验事实的基础上，对被考察事件的可能性进行逻辑分析后得出该事件的概率。其基本思想如下：

（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点。

（2）每个样本点发生的可能性相等，成为等可能性。

（3）若事件A含有k个样本点，则事件A的概率为
$P(A)=\frac {事件A所含样本点的个数}{\Omega中所有样本点的个数}=\frac {k}{n}$
容易验证，有上式确定的概率满足公理化定义，它的非负性与正则性是显然的。而满足可加性的理由与频率方法类似：当A与B互不相容时，计算 $\cup B$ 的样本点个数可以分别计算A的样本点个数和B的样本点个数，然后再相加，从而有可加性 $\cup B)=n(A)+n(B)$ 。

古典方法常见的模型有以下几种：

抽样模型：一批产品共有N件，其中M件是不合格品，N-M件是合格品，从中随机取出n件（n $\leqslant$ N），求取出的n件产品中有m件不合格品的概率。
放回取样：在抽样模型的基础上，抽取一件后放回，然后再抽取下一件。
彩票问题：一种福利彩票称为幸运35选7，即购买时从01,02，…，35中任选7个号码，开奖时从01,02，…，35中不重复地选出7个基本号码和一个特殊号码，试求各等奖的中奖概率。
盒子模型：设有n个球，每个球都等可能地被放到N个不同盒子中的任一个，每个盒子所放球数不限，试求指定的n（n $\leqslant$ N）个盒子中各有一球的概率和恰好有n（n $\leqslant$ N）个盒子各有一球的概率。
生日问题：n个人的生日全不相同的概率。

1.2.5 确定概率的几何方法

确定概率的几何方法，其基本思想如下：

（1）如果一个随机现象的样本空间 $\Omega$ 充满某个区域，其度量（长度、面积或体积等）大小可用 $S_{\Omega}$ 表示。

（2）任意一点落在度量相同的子区域内（可能位置不同）是等可能的，比如在样本空间 $\Omega$ 中有一单位正方形A和直角边为1和2的直角三角形B，而点落在区域A和区域B是等可能的，因为这两个区域面积相等。

（3）若事件A为 $\Omega$ 中的某个子区域，且其度量大小可用 $S_A$ 表示，则事件A的概率为
$P（A）=\frac {S_A}{S_{\Omega}}$
这个概率称为几何概率，它满足概率的公理化定义。

几何方法常见的模型有以下几种：

会面问题：甲乙两人约定在下午6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人20min，过时即可离去。求两人能会面的概率。

比丰投针问题：平面上画有间隔为d（ $d\gt0$ ）的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l（l $\gt$ d）的针，求针与任一平行线相交的概率。（蒙特卡罗法）

贝特朗奇论：在一圆内任取一条弦，问其长度超过该圆内接等边三角形的边长的概率是多少。（三种解法）

1.2.6 确定概率的主观方法

统计界的贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念。这样给出的概率称为主观概率。

; 统计界的贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念。这样给出的概率称为主观概率。

这种利用经验确定随机事件发生可能性大小的例子是很多的，比如气象专家根据气象专业知识和最近的气象情况给出的主观概率、外科医生根据自己多年的临床经验和患者病情，预估手术成功率等等，人们也常依据某些主观概率来行事。