【题目链接】
ybt 1361：产生数(Produce)
本题是简化后的问题，原题为：信息学奥赛一本通 1361：产生数(Produce) | 洛谷 P1037 [NOIP2002 普及组] 产生数
原题整数n的范围为 n < 1 0 30 n< 10^{30} n<1030，该题将条件简化，n的范围为 n ≤ 2000 n \le 2000 n≤2000
【题目考点】
1. 搜索
2. 递推/递归
【解题思路】
解法1：将数字拆分保存在数组中，而后转换每一位
将数字变化规则保存在x、y两个一维数组中，x[i]到y[i]是一种转换规则。
从n的初始值开始搜索，对n做数字拆分，将拆分后的各位数字保存在一个数组中。针对数组中的每位数字，看能否通过转换规则将该数字转换为另一个数字。如果可以，那么做一次转换，将该数组通过数字组合变为一个整数，通过vis数组判断该整数是否出现过。如果出现过，那么略过。如果没出现过，将该整数在vis数组中设为“出现过”，产生的数字个数加1，而后从该整数开始再次进行搜索。
解法2：递推/递归
首先通过搜索，得到每一位数字通过有限次变化后可能变成的数字种类。
假设有规则：1->2, 1->3, 2->5, 5->1。
那么数字1经过有限次变化后可以成为1,2,3,5，共4种；2经过有限次变化后可以成为：2,5,1,3，共4种。
统计后，得到数字i经过有限次变化后可以变成的数字种类为c[i]。
- 状态定义：记前i位数字可以变换成的数字种类为
f[i]， - 初始状态：
f[0] = 1 - 递推关系：前i位数字可以变成的数字种类，为前i-1位数字可以变成的数字种类乘以第i位数字
a[i]可以变成的数字种类，即f[i] = f[i-1]*c[a[i]]。
如整数n有ni位，那么f[ni]即为整数n可以变成的数字种类数。
可以用递推或递归的方法来解决该问题。
【题解代码】
解法1：将数字拆分保存在数组中，而后转换每一位
- 深搜
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, k, x[20], y[20], arr[5], ai, ct;
bool vis[10000];
void toArr(int num)//将整数num进行数字拆分，结果保存在数字数组arr中。（包括num为0的情况）
{
ai = 0;
int a = num;
do
{
arr[++ai] = a % 10;
a /= 10;
}while(a > 0);
}
int toNum()//将数字数组arr保存的数字转为整型数字
{
int num = 0;
for(int i = ai; i >= 1; --i)
num = num * 10 + arr[i];
return num;
}
void dfs(int num)
{
int temp, newNum;
for(int i = 1; i <= ai; ++i)
{
for(int j = 1; j <= k; ++j)//如果存在替换arr[i]的规则
{
if(arr[i] == x[j])
{
arr[i] = y[j];
newNum = toNum();//合成得到新的整数
if(vis[newNum] == false)//如果新的整数nweNum没出现过
{
vis[newNum] = true;//将newNum标记为出现过
ct++;//数字出现的个数加1
dfs(newNum);
}
arr[i] = x[j];//还原
}
}
}
}
int main()
{
cin >> n >> k;
for(int i = 1; i <= k; ++i)
cin >> x[i] >> y[i];
toArr(n);
vis[n] = true;
ct = 1;
dfs(n);
cout << ct;
return 0;
}
- 广搜
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define K 20
int n, k, ct, x[K], y[K], arr[5], ai;
bool vis[10001];
void toArr(int num)//将整数num进行数字拆分，结果保存在数字数组arr中。（包括num为0的情况）
{
ai = 0;
int a = num;
do
{
arr[++ai] = a % 10;
a /= 10;
}while(a > 0);
}
int toNum()//将数字数组arr保存的数字转为整型数字
{
int num = 0;
for(int i = ai; i >= 1; --i)
num = num * 10 + arr[i];
return num;
}
void bfs()
{
queue<int> que;
vis[n] = true;
ct = 1;
que.push(n);
while(que.empty() == false)
{
int u = que.front();
que.pop();
toArr(u);//将u转为数字数组arr
for(int i = 1; i <= ai; ++i)//遍历arr中的每一位
{
for(int j = 1; j <= k; ++j)//遍历每条规则
{
if(arr[i] == x[j])
{
arr[i] = y[j];
int newNum = toNum();
if(vis[newNum] == false)
{
vis[newNum] = true;
ct++;
que.push(newNum);
}
arr[i] = x[j];//还原
}
}
}
}
}
int main()
{
cin >> n >> k;
for(int i = 1; i <= k; ++i)
cin >> x[i] >> y[i];
bfs();
cout << ct;
return 0;
}
解法2：递推/递归
- 递推
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define K 20
#define N 5
int n, k, c[10], vis[10], a[N], x[K], y[K], f[N];//f[i]：前i位数字可以变换成的数字种类
void dfs(int i)
{
for(int j = 1; j <= k; ++j)
{
if(x[j] == i && vis[y[j]] == false)
{
vis[y[j]] = true;
dfs(y[j]);
}
}
}
void init()
{
for(int i = 0; i <= 9; ++i)
{
memset(vis, 0, sizeof(vis));//vis[j]:i能否通过应用某些规则变成数字j
vis[i] = true;
dfs(i);//标记vis
for(int j = 0; j <= 9; ++j)//统计vis中有几个数字被标记
{
if(vis[j])
c[i]++;//c[i]:数字i能变成的数字的个数（包括自己）
}
}
}
int main()
{
cin >> n >> k;
for(int i = 1; i <= k; ++i)
cin >> x[i] >> y[i];
init();
int ni = 0, t = n;//数字n有ni位
do//数字拆分，确定数字n的位数，包括n为0的情况
{
a[++ni] = t % 10;//n的低位到高位第i位数字为a[i]
t /= 10;
}while(t > 0);
f[0] = 1;
for(int i = 1; i <= ni; ++i)
f[i] = f[i-1] * c[a[i]];
cout << f[ni];
return 0;
}
- 递归
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define K 20
#define N 5
int n, k, c[10], vis[10], a[N], x[K], y[K];
void dfs(int i)
{
for(int j = 1; j <= k; ++j)
{
if(x[j] == i && vis[y[j]] == false)
{
vis[y[j]] = true;
dfs(y[j]);
}
}
}
void init()
{
for(int i = 0; i <= 9; ++i)
{
memset(vis, 0, sizeof(vis));//vis[j]:i能否通过应用某些规则变成数字j
vis[i] = true;
dfs(i);//标记vis
for(int j = 0; j <= 9; ++j)//统计vis中有几个数字被标记
{
if(vis[j])
c[i]++;//c[i]:数字i能变成的数字的个数（包括自己）
}
}
}
int f(int i)//前i位数字可以变换成的数字种类
{
if(i == 0)
return 1;
return f(i - 1) * c[a[i]];
}
int main()
{
cin >> n >> k;
for(int i = 1; i <= k; ++i)
cin >> x[i] >> y[i];
init();
int ni = 0, t = n;//数字n有ni位
do//数字拆分，确定数字n的位数，包括n为0的情况
{
a[++ni] = t % 10;//n的低位到高位第i位数字为a[i]
t /= 10;
}while(t > 0);
cout << f(ni);
return 0;
}