【题目链接】
【题目考点】
1. 枚举
2. 递推
【解题思路】
设在第2站上车b人
列表找规律：
| 站点 | 上车人数(u) | 下车人数(d) | 从第i站出发时车上人数(p) |
|---|---|---|---|
| 1 | a | 0 | a |
| 2 | b | b | a |
| 3 | a+b | b | 2a |
| 4 | a+2b | a+b | 2a+b |
| 5 | 2a+3b | a+2b | 3a+2b |
| … |
记第i站上车人数为 u i u_i ui，下车人数为 d i d_i di，从第i站出发时车上人数为 p i p_i pi。
题目所求的是在第x站出发时车上的人数，即 p x p_x px，实际就是要求p数组。
当 i ≥ 3 i\ge 3 i≥3时有规律：
u i = u i − 1 + u i − 2 u_i=u_{i-1}+u_{i-2} ui=ui−1+ui−2
d i = u i − 1 d_i=u_{i-1} di=ui−1
p i = p i − 1 + u i − d i = p i − 1 + u i − 2 p_i=p_{i-1}+u_i-d_i=p_{i-1}+u_{i-2} pi=pi−1+ui−di=pi−1+ui−2
已知第n站下车m人，即第n-1站出发时车上有m人，即 p n − 1 = m p_{n-1} = m pn−1=m
这里不方便得到以b为未知数的方程。如果用枚举算法来做的话，其实也不是一定要把方程列出来。
这里可以枚举b的值。
关于b的范围，最小为0。根据题目提供的条件，n最小值为4。
- 当n为4时， m = p 3 = 2 a m=p_3=2a m=p3=2a，此时b的值不起作用，b可以在任意范围内枚举。
- 当 n > 4 n>4 n>4时，根据上述规律可以看出，一定有 m = p n − 1 > b m=p_{n-1} > b m=pn−1>b
因此把b的最大值设为m-1即可。
- 枚举对象：b
- 枚举范围： 0 ≤ b ≤ m 0\le b \le m 0≤b≤m
- 判断条件：
已知 u 1 = a , u 2 = b u_1=a, u_2=b u1=a,u2=b，递推关系 u i = u i − 1 + u i − 2 u_i=u_{i-1}+u_{i-2} ui=ui−1+ui−2。
已知 p 2 = a p_2=a p2=a，递推关系 p i = p i − 1 + u i − 2 p_i=p_{i-1}+u_{i-2} pi=pi−1+ui−2
递推求出 p n − 1 p_{n-1} pn−1，判断是否满足 p n − 1 = m p_{n-1}=m pn−1=m。
如果满足，则找到了解，输出 p x p_x px
复杂度分析：b循环m次，m最大为 1 0 4 10^4 104，递推最大循环接近n次，n最大为15，因此总循环次数为 1 0 4 ∗ 15 ≈ 1 0 5 10^4*15\approx10^5 104∗15≈105数量级，可以接受。
【题解代码】
解法1：枚举
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 20
int main()
{
int a, n, m, x, u[N], p[N];//u[i]:第i站上车的人数 p[i]:第i站车出发时车上的人数
cin >> a >> n >> m >> x;
u[1] = p[2] = a;
for(int b = 0; b < m; ++b)
{
u[2] = b;
for(int i = 3; i <= n-1; ++i)
{
u[i] = u[i-1] + u[i-2];
p[i] = p[i-1] + u[i-2];
}
if(p[n-1] == m)
{
cout << p[x];
return 0;
}
}
return 0;
}