物象关系

最简单的几何光学是在初中学的，主要对象是物点、像点、透镜焦距，这三个物理量任取两个求第三个，总共也只有三对关系，而且光路可逆，所以物点和像点其实是一回事儿：

• geometric_conj_af(a, f)
• geometric_conj_bf(a, f)
• geometric_conj_ab(a, b)

束腰变换

但从高斯光束的角度理解，简单的物像关系只能得到束腰在经过透镜变换后的位置变化，而不能描述束腰尺寸的变化。现有一个束腰为$w_{in}$的光斑，若想通过一个焦距为$f$的透镜，使其束腰变为$w_{out}$，那么入射光、出射光以及透镜应该如何摆放？下面这个函数就能解决这个问题

conjugate_gauss_beams(wavelen, waist_in, waist_out, f)

其中，wavelen为波长；waist_in, waist_out为入射光和出射光的束腰；f为透镜焦距。

其返回值有三项，分别是入射光束腰和透镜的距离、出射光束腰和透镜的距离，以及透镜焦距。

import sympy
from sympy.physics.optics import conjugate_gauss_beams
l, w_i, w_o, f = sympy.symbols('l w_i w_o f')
x_i, x_o, f_1 = conjugate_gauss_beams(l, w_i, w_o, 
f=f)
sympy.latex(x_i)
sympy.latex(x_o)
sympy.latex(f_1)

结果如下

$$x_i=f\cdot (1-\sqrt{\frac{w_i^2}{w_o^2}-\frac{{\pi }^2{w}_i^4}{f^2{l}^2}})$$

$$x_o=1/(-\frac{1}{f\left(1-\sqrt{\frac{w_i^2}{w_o^2}-\frac{{\pi }^2{w}_i^4}{f^2{l}^2}}\right)+\frac{{\pi }^2{w}_i^4}{l^2\left(f\left(1-\sqrt{\frac{w_i^2}{w_o^2}-\frac{{\pi }^2{w}_i^4}{f^2{l}^2}}\right)-f\right)}}+\frac{1}{f})$$

上面这好大一坨的$x_o$可以把$x_i$带进去

$$x_o=1/(-\frac{1}{x_i+\frac{{\pi }^2{w}_i^4}{l^2\left(x_i-f\right)}}+\frac{1}{f})$$

高斯光束通过透镜

与此相关的另一个问题是，若有一个瑞利长度为$z_{r_{in}}$的光线，在距离束腰位置$s_{in}$处遇到一个透镜，已知透镜焦距，那么出射光是什么样的？gaussian_conj就解决这个问题

from sympy.physics.optics import gaussian_conj
s_i, z_r_i, f = sympy.symbols('s_i z_r_i f')
s_o, z_r_o, m = gaussian_conj(s_i, z_r_i, f)
sympy.latex(s_o)
sympy.latex(z_r_o)
sympy.latex(m)

结果为

$$\begin{gathered} s_o=1/(-\frac{1}{s_i+z_{ri}^2/(s_i-f)}+\frac{1}{f}) \\ {z}_{ro}=\frac{z_{ri}}{1-(s_i^2-z_{ri}^2)/f^2} \\ m=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{s_i^2}{f^2}+\frac{z_{ri}^2}{f^2}}} \end{gathered}$$