Sympy的使用

SymPy库常用函数
简介

SymPy是一个符号计算的Python库。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统，同时保持代码简洁、易于理解和扩展。它完全由Python写成，不依赖于外部库。SymPy支持符号计算、高精度计算、模式匹配、绘图、解方程、微积分、组合数学、离散数学、几何学、概率与统计、物理学等方面的功能。(来自维基百科的描述)

更多内容请查看本人个人博客：https://huiyang865.github.io/2016/08/27/sympy/
Sympy安装方法

安装命令：pip install sympy
基本数值类型
实数，有理数和整数

SymPy有三个内建的数值类型：实数，有理数和整数。有理数类用两个整数来表示一个有理数。分子与分母，所以Rational(1,2)代表1/2，Rational(5,2)代表5/2，等等。

from sympy import *
a = Rational(1,2)
a
1/2
a*2
1
Rational(2)**50/Rational(10)**50
1/88817841970012523233890533447265625

当利用Python的整数计算时要注意一下，Python只会截取除法的整数部分：

1/2
0
1.0/2
0.5

然而你可以：

from future import division
1/2 #doctest: +SKIP
0.5

正确的除法在python3k和isympy中这样做，是标准的。
特殊的常数

我们也可以有一些特殊的常数，像e和pi，它们会被当作符号去对待。（1+pi不会求得值，反而它会保持为1+pi），例如：

pi**2
pi**2
pi.evalf()
3.14159265358979
(pi+exp(1)).evalf()
5.85987448204884

求表达式的浮点数-evalf()函数

正如你看到的，evalf()函数可以用求出表达式的浮点数。
有一个无穷大的类型，被成为oo：

oo > 99999
True
oo + 1
oo
If the substitution will be followed by numerical evaluation, it is better to pass the substitution to evalf as
(1/x).evalf(subs={x: 3.0}, n=21)
0.333333333333333333333
rather than
(1/x).subs({x: 3.0}).evalf(21)
0.333333333333333314830

Sympy基本使用
定义变量-Symbols函数

对比与其他的计算机代数系统，在SymPy中要明确声明符号变量：

x = symbols(‘x’)
x + 1
x + 1
x,y,z=symbols(‘x y z’)
crazy = symbols(‘unrelated’)
crazy + 1
unrelated + 1
x = symbols(‘x’)
expr = x + 1
x = 2
print(expr)
x + 1
Changing x to 2 had no effect on expr. This is because x = 2 changes the Python variable x to 2, but has no effect on the SymPy Symbol x, which was what we used in creating expr.

变量替换subs函数

x = symbols(‘x’)
expr = x + 1
expr.subs(x, 2)
3
from sympy import pi, exp, limit, oo
from sympy.abc import x, y
(1 + x*y).subs(x, pi)
pi*y + 1
(1 + x*y).subs({x:pi, y:2})
1 + 2*pi
(1 + x*y).subs([(x, pi), (y, 2)])
1 + 2*pi
reps = [(y, x**2), (x, 2)]
(x + y).subs(reps)
6
(x + y).subs(reversed(reps))
x**2 + 2
(x**2 + x**4).subs(x**2, y)
y**2 + y
(x**2 + x**4).xreplace({x**2: y})
x**4 + y
(x/y).subs([(x, 0), (y, 0)])
0
(x/y).subs([(x, 0), (y, 0)], simultaneous=True)
nan
((x + y)/y).subs({x + y: y, y: x + y})
1
((x + y)/y).subs({x + y: y, y: x + y}, simultaneous=True)
y/(x + y)
limit(x**3 - 3*x, x, oo)
oo

调用方式：[subs(*args, **kwargs)]
代数

局部的代数式展开，使用apart(expr, x):

In [1]: 1/( (x+2)*(x+1) )
Out[1]:
1
───────────────
(2 + x)*(1 + x)
In [2]: apart(1/( (x+2)*(x+1) ), x)
Out[2]:
1 1
───── - ─────
1 + x 2 + x
In [3]: (x+1)/(x-1)
Out[3]:
-(1 + x)
────────
1 - x
In [4]: apart((x+1)/(x-1), x)
Out[4]:
2
1 - ─────
1 - x

代数式的合并

(相当于展开的逆运算)，使用together(expr, x)：

In [7]: together(1/x + 1/y + 1/z)
Out[7]:
x*y + x*z + y*z
───────────────
x*y*z
In [8]: together(apart((x+1)/(x-1), x), x)
Out[8]:
-1 - x
──────
1 - x
In [9]: together(apart(1/( (x+2)*(x+1) ), x), x)
Out[9]:
1
───────────────
(2 + x)*(1 + x)

微积分
极限

在sympy中极限容易求出，它们遵循极限语法 limit(function, variable, point) ，所以计算x->0时f(x)的极限，即limit(f, x, 0)：

from sympy import *
x=Symbol(“x”)
limit(sin(x)/x, x, 0)
1
limit(x, x, oo)
oo
limit(1/x, x, oo)
0
limit(x**x, x, 0)
1

有一些特殊的极限的例子，可以阅读文件test_demidovich.py
微分

可以对任意SymPy表达式微分。diff(func, var)。例如：

from sympy import *
x = Symbol(‘x’)
diff(sin(x), x)
cos(x)
diff(sin(2*x), x)
2*cos(2*x)
diff(tan(x), x)
1 + tan(x)**2

可以通过以下验证:

limit((tan(x+y)-tan(x))/y, y, 0)
1 + tan(x)**2

计算高阶微分 diff(func, var, n) :

diff(sin(2*x), x, 1)
2*cos(2*x)
diff(sin(2*x), x, 2)
-4*sin(2*x)
diff(sin(2*x), x, 3)
-8*cos(2*x)

级数展开

函数 series(var, point, order)：

from sympy import *
x = Symbol(‘x’)
cos(x).series(x, 0, 10)
1 - x**2/2 + x**4/24 - x**6/720 + x**8/40320 + O(x**10)
(1/cos(x)).series(x, 0, 10)
1 + x**2/2 + 5*x**4/24 + 61*x**6/720 + 277*x**8/8064 + O(x**10)

积分

SymPy支持不定积分，超越函数与特殊函数的定积分。SymPy有力的扩展Risch-Norman 算法和模型匹配算法。

from sympy import *
x, y = symbols(‘xy’)

初等函数：

integrate(6*x**5, x)
x**6
integrate(sin(x), x)
-cos(x)
integrate(log(x), x)
-x + x*log(x)
integrate(2*x + sinh(x), x)
cosh(x) + x**2

特殊函数：

integrate(exp(-x**2)*erf(x), x)
pi**(1/2)*erf(x)**2/4

定积分：

integrate(x**3, (x, -1, 1))
0
integrate(sin(x), (x, 0, pi/2))
1
integrate(cos(x), (x, -pi/2, pi/2))
2

一些广义积分也可以被支持：

integrate(exp(-x), (x, 0, oo))
1
integrate(log(x), (x, 0, 1))
-1

复数

from sympy import Symbol, exp, I
x = Symbol(“x”)
exp(I*x).expand()
exp(I*x)
exp(I*x).expand(complex=True)
I*exp(-im(x))*sin(re(x)) + cos(re(x))*exp(-im(x))
x = Symbol(“x”, real=True)
exp(I*x).expand(complex=True)
I*sin(x) + cos(x)

函数

三角函数：:

In [1]: sin(x+y).expand(trig=True)
Out[1]: cos(x)*sin(y) + cos(y)*sin(x)
In [2]: cos(x+y).expand(trig=True)
Out[2]: cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
In [3]: sin(I*x)
Out[3]: I*sinh(x)
In [4]: sinh(I*x)
Out[4]: I*sin(x)
In [5]: asinh(I)
Out[5]:
π*I
───
2
In [6]: asinh(I*x)
Out[6]: I*asin(x)
In [15]: sin(x).series(x, 0, 10)
Out[15]:
3 5 7 9
x x x x
x - ── + ─── - ──── + ────── + O(x**10)
6 120 5040 362880
In [16]: sinh(x).series(x, 0, 10)
Out[16]:
3 5 7 9
x x x x
x + ── + ─── + ──── + ────── + O(x**10)
6 120 5040 362880
In [17]: asin(x).series(x, 0, 10)
Out[17]:
3 5 7 9
x 3*x 5*x 35*x
x + ── + ──── + ──── + ───── + O(x**10)
6 40 112 1152
In [18]: asinh(x).series(x, 0, 10)
Out[18]:
3 5 7 9
x 3*x 5*x 35*x
x - ── + ──── - ──── + ───── + O(x**10)
6 40 112 1152

球谐函数：

In [1]: from sympy.abc import theta, phi
In [2]: Ylm(1, 0, theta, phi)
Out[2]:
————
╲╱ 3 *cos(θ)
────────────
——
2*╲╱ π
In [3]: Ylm(1, 1, theta, phi)
Out[3]:
—— I*φ
-╲╱ 6 │sin(θ)│ℯ
────────────────────
——
4*╲╱ π
In [4]: Ylm(2, 1, theta, phi)
Out[4]:
——— I*φ
-╲╱ 30 │sin(θ)│*cos(θ)ℯ
────────────────────────────
——
4*╲╱ π

阶乘和伽玛函数：

In [1]: x = Symbol(“x”)
In [2]: y = Symbol(“y”, integer=True)
In [3]: factorial(x)
Out[3]: Γ(1 + x)
In [4]: factorial(y)
Out[4]: y!
In [5]: factorial(x).series(x, 0, 3)
Out[5]:
2 2 2 2
x *EulerGamma π *x
1 - x*EulerGamma + ────────────── + ───── + O(x**3)
2 12

Zeta函数:

In [18]: zeta(4, x)
Out[18]: ζ(4, x)
In [19]: zeta(4, 1)
Out[19]:
4
π
──
90
In [20]: zeta(4, 2)
Out[20]:
4
π
-1 + ──
90
In [21]: zeta(4, 3)
Out[21]:
4
17 π
- ── + ──
16 90

多项式

In [1]: chebyshevt(2, x)
Out[1]:
2
-1 + 2*x
In [2]: chebyshevt(4, x)
Out[2]:
2 4
1 - 8*x + 8*x
In [3]: legendre(2, x)
Out[3]:
2
3*x
-1/2 + ────
2
In [4]: legendre(8, x)
Out[4]:
2 4 6 8
35 315*x 3465*x 3003*x 6435*x
─── - ────── + ─────── - ─────── + ───────
128 32 64 32 128
In [5]: assoc_legendre(2, 1, x)
Out[5]:
—————
╱ 2
-3*x*╲╱ 1 - x
In [6]: assoc_legendre(2, 2, x)
Out[6]:
2
3 - 3*x
In [7]: hermite(3, x)
Out[7]:
3
-12*x + 8*x

微分方程

在isympy中：

In [4]: f(x).diff(x, x) + f(x) #注意在使用输入该命令之前，一定要声明f=Function(‘f’)
Out[4]:
2
d
─────(f(x)) + f(x)
dx dx
In [5]: dsolve(f(x).diff(x, x) + f(x), f(x))
Out[5]: C₁*sin(x) + C₂*cos(x)

代数方程

在isympy中：

In [7]: solve(x**4 - 1, x)
Out[7]: [i, 1, -1, -i]
In [8]: solve([x + 5*y - 2, -3*x + 6*y - 15], [x, y])
Out[8]: {y: 1, x: -3}

线性代数
矩阵

矩阵由矩阵类创立建:

from sympy import Matrix
Matrix([[1,0], [0,1]])
[1, 0]
[0, 1]

不只是数值矩阵，亦可为代数矩阵，即矩阵中存在符号：

x = Symbol(‘x’)
y = Symbol(‘y’)
A = Matrix([[1,x], [y,1]])
A
[1, x]
[y, 1]
A**2
[1 + x*y, 2*x]
[ 2*y, 1 + x*y]

关于矩阵更多的例子，请看线性代数教程。
系数匹配

使用 .match()方法，引用Wild类，来执行表达式的匹配。该方法会返回一个字典。

from sympy import *
x = Symbol(‘x’)
p = Wild(‘p’)
(5*x**2).match(p*x**2)
{p_: 5}
q = Wild(‘q’)
(x**2).match(p*x**q)
{p_: 1, q_: 2}

如果匹配不成功，则返回None：

print (x+1).match(p**x)
None

可以使用Wild类的‘exclude’参数（排除参数），排除不需要和无意义的匹配结果,来保证结论中的显示是唯一的：

x = Symbol(‘x’)
p = Wild(‘p’, exclude=[1,x])
print (x+1).match(x+p) # 1 is excluded
None
print (x+1).match(p+1) # x is excluded
None
print (x+1).match(x+2+p) # -1 is not excluded
{p_: -1}

打印输出
标准

str(expression)返回如下：

from sympy import Integral
from sympy.abc import x
print x**2
x**2
print 1/x
1/x
print Integral(x**2, x)
Integral(x**2, x)

Pretty Printing

用pprint函数可以输出不错的ascii艺术：

from sympy import Integral, pprint
from sympy.abc import x
pprint(x**2) #doctest: +NORMALIZE_WHITESPACE
2
x
pprint(1/x)

1

pprint(Integral(x**2, x))
/
|
| 2
| x dx
|
/

[Pretty PrintingWiki]
提示：在python解释器中，为使pretty printing为默认输出，使用：

$ python
Python 2.5.2 (r252:60911, Jun 25 2008, 17:58:32)
[GCC 4.3.1] on linux2
Type “help”, “copyright”, “credits” or “license” for more information.

from sympy import *
import sys
sys.displayhook = pprint
var(“x”)
x
x**3/3
3

x

Integral(x**2, x) #doctest: +NORMALIZE_WHITESPACE
/
|
| 2
| x dx
|
/

Python printing

from sympy.printing.python import python
from sympy import Integral
from sympy.abc import x
print python(x**2)
x = Symbol(‘x’)
e = x**2
print python(1/x)
x = Symbol(‘x’)
e = 1/x
print python(Integral(x**2, x))
x = Symbol(‘x’)
e = Integral(x**2, x)

LaTeX printing

from sympy import Integral, latex
from sympy.abc import x
latex(x**2)
$x^{2}$
latex(1/x)
$\frac{1}{x}$
latex(Integral(x**2, x))
$\int x^{2}\,dx$

MathML

from sympy.printing.mathml import mathml
from sympy import Integral, latex
from sympy.abc import x
print mathml(x**2)
x2
print mathml(1/x)
x-1

Pyglet

from sympy import Integral, preview
from sympy.abc import x
preview(Integral(x**2, x)) #doctest:+SKIP

注解

Isympy默认调用pprint，所以这就是为什么看到pretty printing为默认的。

有一个打印的有效模块，sympy.printing。用这个模块实现其他的打印：

pretty(expr), pretty_print(expr), pprint(expr): 分别返回或者输出，，表达式的漂亮描述。这是相同
latex(expr), print_latex(expr):分别返回或者输出，LaTex描写的表达式
mathml(expr), print_mathml(expr):分别返回或者输出，MathML描写的表达式
print_gtk(expr): 表达式打印到Gtkmathview , 这是一个GTK小配件显示MathML代码。Gtkmathview程序是必须的。

1

x

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