已知:原矩阵为
Ax=0
Ax=0的求解步骤:
1,先把原始矩阵A化简到最简阶梯形R,主元为1,主元上方也全部消除为0。
2,在R矩阵中确定主元列和主元变量,自由列和自由变量。确定方程组的秩R和特解的个数=n-r(对于mxn矩阵而言)。
3,逐一令一个自由变量为1,剩下的自由变量为0,代入方程组Rx=0并求解。
4,每执行一次第三步操作,就会得到一个对应的特解,最终得到n-r个特解(special solution)。Ax=0的解就是这n-r个特解的线性组合。
令自由变量为任意数的解法:
令自由变量为代数的解法:
消元得到最简阶梯型R以后,把矩阵R用方程表示,求出主元变量x1和x2。
Ax=b
Ax=b的求解步骤:
1,对原始矩阵A消元,得到阶梯型矩阵U。(注意:U不是最简阶梯型矩阵)。
2,令自由变量为0,求解Ux=c,得到一个的特解
。
3,化简Ax=0到最简阶梯型矩阵R,并求出Ax=0的所有解,他是n-r个特解的任意一个线性组合。
4,Ax=b的完整解,等于Ax=b的一个特解加上Ax=0的特解的任意一个线性组合。
令等式右端b为一组任意实数的求解步骤:
令等式右端b为代数的求解步骤:
(全文完)
作者 --- 松下J27
古诗词赏析:
《登鹳雀楼》
王之涣
白日依山尽,黄河入海流。
欲穷千里目,更上一层楼。
鸣谢(参考文献):
1,Linear Algebra and Its Applications - 4th Edition,Gilbert Strang
(*配图与本文无关*)
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