并查集及相关变形
1.要解决的问题
一共有 n 个数,编号是 1∼n,最开始每个数各自在一个集合中。
现在要进行 m 个操作,操作共有两种:
M a b
,将编号为 a 和 b 的两个数所在的集合合并,如果两个数已经在同一个集合中,则忽略这个操作;
Q a b
,询问编号为 a 和 b 的两个数是否在同一个集合中;
2.并查集
2.1支持的操作
- 将两个集合合并
- 询问两个数是否在同一个集合中
2.2解决问题的方法
将各个集合构建成一个树,树的每一个节点是在同一个集合中的数。树的编号是根节点的编号。
为此,需要为每一个节点 i 存放其父节点 p[i]。
2.3要思考的问题
- 如何判断树根
根节点的特征是其父节点是其本身
if(p[x] == x) x就是根节点
- 如何求数x所在集合的编号
while(x != p[x]) x = p[x];
只要x不是根节点,x就一直往上走,知道x是树根。树根的编号就是集合的编号
- 如何将两个数所在集合合并
p[x]是x的集合编号,p[y]是y的集合编号
p[x] == y
- 询问两个节点是否在一个集合中:
if(p[i] == p[j]) Yes
else No
2.4 优化
当树的深度很大时,每次判断x所在集合的编号都要走很多层。为此,采用“路径压缩”的方式,找到x的根节点后,将整个路径上的节点都直接指向根节点
3.代码实现
#include<iostream>
using namespace;
const int N = 100010;
// 存放每个节点的父节点
int p[N];
// n代表数的个数,m代表操作的个数
int n,m;
// 寻找x的根节点+路径压缩
int find(int x){
if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int main(){
scanf("%d%d", &n, &m);
//初始化各个节点的父节点
for(int i = 0; i < n; i++){
p[i] = i;
}
while(m--){
char op[2];
int a, b;
scanf("%s%d%d",&op, &a, &b);
// 将两个集合进行合并
if(op[0] == 'M') p[find(a)] = find(b);
// 询问两个数是否在同一个集合中
else{
if(find(a) == find(b)) puts("Yes");
else puts("No");
}
}
return 0;
}
4.并查集应用二-连通块中点的数量
4.1题目描述
给定一个包含 n 个点(编号为 1∼n)的无向图,初始时图中没有边。
现在要进行 m 个操作,操作共有三种:
C a b
,在点 a 和点 b 之间连一条边,a 和 b 可能相等;
Q1 a b
,询问点 a 和点 b 是否在同一个连通块中,a 和 b 可能相等;
Q2 a
,询问点 a 所在连通块中点的数量;
4.2 要考虑的问题
每个连通块还是用一个树来表示。
前两项操作与并查集要进行的操作一致,本题需要多考虑一条连通块中点的数量。
另设一个int count[N]
,代表每个集合中点的数量。因此在初始化点的父节点时,初始化每个集合中含有的点的数量。
4.3代码实现
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
// 存放每个节点的父节点,一共有不超过N个节点
int p[N];
// 存放每个集合中点的大小
int cnt[N];
// 查找每个点的父节点+路径压缩
int find(int x){
if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int main(){
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
// 初始化
for(int i = 0; i < n; i++){
p[i] = i;
cnt[i] = 1;
}
while(m--){
string op;
int a, b;
cin >> op;
// 将两个数所在集合合并
if(op == "C"){
scanf("%d%d", &a, &b);
// 只有a,b不在一个连通块里才需要合并
if(find(a) != find(b)){
// 一定先合并数量再改变树的结构
cnt[find(b)] += cnt[find(a)];
p[find(a)] = find(b);
}
}
// 判断两个数是否在同一集合
else if(op == "Q1"){
scanf("%d%d", &a, &b);
if(find(a) == find(b)) printf("Yes\n");
else printf("No\n");
}
// 询问连通块中点的数量
else{
scanf("%d", &a);
printf("%d\n", cnt[find(a)];
}
}
return 0;
}