1. 域 F F F上的一个线性空间
一、域 F F F上的线性空间的定义和简单性质
定义1 域 F F F上的线性空间
一个非空集合 V V V,如果它有加法运算 + : V × V → V +: V\times V \to V +:V×V→V,和数乘运算 ⋅ : F × V → V \cdot: F\times V \to V ⋅:F×V→V,且满足:
- V V V对加法构成交换群
- 1 α = α 1\alpha=\alpha 1α=α,其中1是F的单位元
- ( k l ) α = k ( l α ) (kl)\alpha=k(l\alpha) (kl)α=k(lα),结合律
- ( k + l ) α = k α + l α (k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha (k+l)α=kα+lα,右分配律
- k ( α + β ) = k α + k β k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta k(α+β)=kα+kβ,左分配律
则称 V V V是域 F F F上的一个线性空间,域中的元素称为向量。
线性空间满足一些性质:
性质1 加法零元素是唯一的。
性质2 加法负元素是唯一的。
性质3 0 α = 0 0\alpha=0 0α=0
性质4 k 0 = 0 k0=0 k0=0
性质5 如果 k α = 0 k\alpha=0 kα=0,那么 k = 0 或 α = 0 k=0或\alpha=0 k=0或α=0
性质6 ( − 1 ) α = − α (-1)\alpha=-\alpha (−1)α=−α
说明:
- 性质1和性质2是群性质的体现。
- 性质3和性质4表明了域 F F F中零元和集合 V V V中零元对彼此集合元素之间的作用。
- 性质5表明如果数乘结果是0,则因子中至少有一个为零元。
- 性质6说明 F F F中-1与 V V V的数乘与V的负元相同
二、向量集合的线性相关和线性无关、向量组的秩
定义2 线性组合、向量组和线性表出
k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s k1α1+k2α2+...+ksαs称为向量 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs线性组合,有序对 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs也称为 V V V的一个向量组。显然一个元素个数为s的向量组可以看做是 V s V^s Vs里的一个向量。
如果 V V V中的一个向量 β \beta β可以表示成向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs的一个线性组合,则称向量 β \beta β可以由向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs线性表出。
定义3 线性相关与线性无关
- 向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs在域F中有不全为0的元素 k 1 , k 2 , . . . , k s k_1,k_2,...,k_s k1,k2,...,ks,使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s=0 k1α1+k2α2+...+ksαs=0,则称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs线性相关。反之,线性无关。
- 对于 V V V中的一个非空有限子集,若该子集的一种排列得到的向量组线性相关,则称该子集线性相关,反之线性无关。易验证,子集的线性相关性与该子集的具体排列无关。
- 对于V的无限子集,若其中存在一个有限子集线性相关,则称该无限子集线性相关。反之线性无关
特别地, - 空集是线性无关的。
- 单个向量组成的子集线性无关,当且仅当向量不是零向量
命题1 域 F F F上的线性空间 V V V中,如果向量组的一个部分线性相关,那么这个向量组线性相关。
命题2 域 F F F上的线性空间 V V V中,包含零向量的向量集合是线性相关的。
命题3 域 F F F上的线性空间 V V V中,元素个数大于1的向量集合线性相关,当且仅当其中至少有一个向量可以由其余向量中的有限多个线性表出。
命题4 域 F F F上的线性空间 V V V中,设非零向量 β \beta β可以由向量集合线性表出,则表法唯一的充要条件是该向量集合线性无关。
注:该命题说明了为什么我们要定义线性相关与线性无关的概念。
命题5 域 F F F上的线性空间 V V V中,设向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs线性无关,则向量 β \beta β可以由向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs线性表出的充要条件是 α 1 , α 2 , . . . , α s , β \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta α1,α2,...,αs,β线性相关。
定义4 极大线性无关组
域 F F F上的线性空间 V V V中,向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs的一个部分组称为一个极大线性无关组,如果这个部分组本身是线性无关的,但是从这个向量组的其余向量(如果有的话)中任取一个添加进去,得到的部分组都线性相关。
定义5 向量组等价
如果向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs中每个向量都可以由向量组 β 1 , β 2 , . . . , β s \beta_1,\beta_2,...,\beta_s β1,β2,...,βs线性表出,那么称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s α1,α2,...,αs可以由向量组 β 1 , β 2 , . . . , β s \beta_1,\beta_2,...,\beta_s β1,β2,...,βs线性表出。如果两个向量组可以互相线性表出,则称这两个向量组等价。
命题6 一个向量组和它的任意一个极大线性无关组等价,且一个向量组的任意两个极大线性无关组等价。
引理1 在域 F F F上的线性空间 V V V中,向量组 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr可以由向量组 β 1 , β 2 , . . . , β s \beta_1,\beta_2,...,\beta_s β1,β2,...,βs线性表出,如果 r > s r>s r>s,那么向量组 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr线性相关。
推论1 在域 F F F上的线性空间 V V V中,向量组 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr可以由向量组 β 1 , β 2 , . . . , β s \beta_1,\beta_2,...,\beta_s β1,β2,...,βs线性表出,如果向量组 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr线性无关,那么 r ≤ s r\le s r≤s。
推论2 等价的线性无关的向量组所含的向量的个数相等。
推论3 一个向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。
定义6 向量组的秩
向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。把向量组 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr的秩记为 r a n k { α 1 , α 2 , . . . , α r } rank\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\} rank{
α1,α2,...,αr}。零向量组成的向量组的秩规定为0。
命题7 域 F F F上的线性空间 V V V中,向量组 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr线性无关的充要条件是它的秩等于它所含向量的个数。
命题8 如果向量组 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr可以由向量组 β 1 , β 2 , . . . , β s \beta_1,\beta_2,...,\beta_s β1,β2,...,βs线性表出,那么 r a n k { α 1 , α 2 , . . . , α r } ≤ r a n k { β 1 , β 2 , . . . , β r } rank\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\} \le rank\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_r\} rank{
α1,α2,...,αr}≤rank{
β1,β2,...,βr}。
命题9 等价的向量组有相等的秩。
三、基与维数
定义7 基
在域 F F F上的线性空间 V V V中, V V V中的向量集合 S S S满足以下两个条件:
- S S S是线性无关的;
- V V V中的每一个向量可以由S线性表出。
那么称向量集合S为V中的一个基。当 S S S是有限集合时,它排列得到的一个向量组称为 V V V的一个有序基,简称为基。
特别地,只含有零向量的线性空间的基为空集。
定理1 任一域 F F F上的线性空间 V V V都有一个基。
定义8 有限维与无限维线性空间
域 F F F上的线性空间 V V V中,如果 V V V有一个基包含有限多个向量,那么称 V V V是有限维线性空间;如果 V V V有一个基包含无限多个向量,那么称 V V V是无限维线性空间
定理2 如果域 F F F上的线性空间 V V V是有限维的,那么 V V V中的任意两个基所含向量个数相等。
推论4 如果域 F F F上的线性空间 V V V是无限维的,那么 V V V中的任意一个基都包含无穷多个向量。
定义9 维数
如果域 F F F上的线性空间 V V V是有限维的,那么 V V V中的一个基所含向量的个数称为 V V V的维数,记作dim V V V;如果 V V V是无限维的,那么记dim V V V= ∞ \infty ∞
从定义8知道,只含有零向量的线性空间的维数为0。
命题10 域 F F F上的 n n n维线性空间 V V V中,则 V V V中的任意 n + 1 n+1 n+1个向量都线性相关。
命题11 域 F F F上的 n n n维线性空间 V V V中,则 V V V中的任意 n n n个线性无关的向量都是 V V V的一个基
命题12 域 F F F上的 n n n维线性空间 V V V中,如果 V V V中的每一个向量都可以由向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn线性表出,则向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn是 V V V的一个基。
命题13 域 F F F上的 n n n维线性空间 V V V中,则 V V V中任意一个线性无关的向量组都可以扩充成 V V V的一个基。
四、基变换和坐标变换
定义10 向量在基下的坐标
域 F F F上的 n n n维线性空间 V V V中, α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn是 V V V中的一个基,则 V V V中的任意向量 α \alpha α可以表示成 α = a 1 α 1 + a 2 α 2 + . . . + a n α n \alpha=a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+...+a_n\alpha_n α=a1α1+a2α2+...+anαn则有序对 ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) T (a_1,a_2,...,a_n)^T (a1,a2,...,an)T称为在基 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn下的坐标。显然,一个向量在某个基下的坐标是唯一的。若将坐标向量记为 X X X,则 α = ( α 1 , α 2 , . . . , α n ) X \alpha=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)X α=(α1,α2,...,αn)X。
命题14 (基变换矩阵)设 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn是 V V V下的一个基,且向量组 β 1 , β 2 , . . . , β n \beta_1,\beta_2,...,\beta_n β1,β2,...,βn满足 ( β 1 , β 2 , . . . , β n ) = ( α 1 , α 2 , . . . , α n ) A (\beta_1,\beta_2,...,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)A (β1,β2,...,βn)=(α1,α2,...,αn)A则 β 1 , β 2 , . . . , β n \beta_1,\beta_2,...,\beta_n β1,β2,...,βn是 V V V的一个基当且仅当 A A A是可逆矩阵,此时称可逆矩阵 A A A为从 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn到 β 1 , β 2 , . . . , β n \beta_1,\beta_2,...,\beta_n β1,β2,...,βn的过渡矩阵。
命题15 (坐标变换公式)域 F F F上的 n n n维线性空间 V V V中有两个基 β 1 , β 2 , . . . , β n \beta_1,\beta_2,...,\beta_n β1,β2,...,βn和 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn, V V V中向量 α \alpha α在两个基下的坐标分别为 Y 和 X Y和X Y和X,则 Y = A − 1 X Y=A^{-1}X Y=A−1X,其中 A A A是从 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n α1,α2,...,αn到 β 1 , β 2 , . . . , β n \beta_1,\beta_2,...,\beta_n β1,β2,...,βn的过渡矩阵
2. 子空间及其交与和,子空间的直和
一、线性子空间
定义1 线性子空间
在域 F F F上的线性空间 V V V中,给出其中一个向量组 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr,则 { k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k r α r ∣ k i ∈ F , i = 1 , . . . , s } \{k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_r\alpha_r|k_i\in F, i=1,...,s\} {
k1α1+k2α2+...+krαr∣ki∈F,i=1,...,s}称为由 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr张成(生成)的线性子空间,记为 < α 1 , α 2 , . . . , α r > <\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r> <α1,α2,...,αr>。
显然, α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr的一个极大线性无关组就是 < α 1 , α 2 , . . . , α r > <\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r> <α1,α2,...,αr>的一个基,从而dim < α 1 , α 2 , . . . , α r > <\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r> <α1,α2,...,αr>=rank { α 1 , α 2 , . . . , α r } \{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\} {
α1,α2,...,αr}
这种生成子空间的方式覆盖了一切由线性空间子集构成的线性空间,只要取向量组为对应线性空间的基即可。
定理1 设 U U U是在域 F F F上的线性空间 V V V中的一个非空子集,则 U U U是 V V V的一个子空间的充要条件是 U U U对于 V V V中的加法和数乘都封闭。
显然,{0}和V都是V的一个子空间,称它们为平凡子空间,{0}称为0子空间,可记作0。
二、子空间的交与和
定义2 子空间的交与和
V 1 ∩ V 2 : = { α ∣ α ∈ V 1 ∩ V 2 } V_1\cap V_2 :=\{\alpha|\alpha\in V_1\cap V_2\} V1∩V2:={
α∣α∈V1∩V2}
V 1 + V 2 : = { α 1 + α 2 ∣ α 1 ∈ V 1 , α 2 ∈ V 2 } V_1 + V_2:=\{\alpha_1+\alpha_2|\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2\} V1+V2:={
α1+α2∣α1∈V1,α2∈V2}
以上两式分别称为子空间的交、子空间的和。
定理2 设 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1,V2都是域 F F F上的线性空间 V V V的子空间,则 V 1 ∩ V 2 V_1\cap V_2 V1∩V2也是 V V V的子空间。
定理3 设 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1,V2都是域 F F F上的线性空间 V V V的子空间,则 V 1 + V 2 V_1 + V_2 V1+V2也是 V V V的子空间。
注:上述定理可以推广到有限多。特别地,定理2可以推广到任意多(有限或无限)。
注:子空间的并一般不是子空间
命题1 设 V 1 , V 2 , V 3 V_1,V_2,V_3 V1,V2,V3都是域 F F F上的线性空间 V V V的子空间,则 V 1 ∩ ( V 2 + V 3 ) ⊃ ( V 1 ∩ V 2 ) + ( V 1 ∩ V 3 ) V_1\cap (V_2+V_3)\supset (V_1\cap V_2)+(V_1\cap V_3) V1∩(V2+V3)⊃(V1∩V2)+(V1∩V3) V 1 + ( V 2 ∩ V 3 ) ⊂ ( V 1 + V 2 ) ∩ ( V 1 + V 3 ) V_1 + (V_2\cap V_3)\subset (V_1 + V_2)\cap (V_1 + V_3) V1+(V2∩V3)⊂(V1+V2)∩(V1+V3)
发现上述两式有较好的对偶性。
命题2 设 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr 和 β 1 , β 2 , . . . , β s \beta_1,\beta_2,...,\beta_s β1,β2,...,βs是域 F F F上的线性空间 V V V的两个向量组,则 < α 1 , α 2 , . . . , α r > + < β 1 , β 2 , . . . , β s > = < α 1 , α 2 , . . . , α r , β 1 , β 2 , . . . , β s > <\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r>+<\beta_1,\beta_2,...,\beta_s>=<\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r, \beta_1,\beta_2,...,\beta_s> <α1,α2,...,αr>+<β1,β2,...,βs>=<α1,α2,...,αr,β1,β2,...,βs>
定理4 (子空间的维数公式)设 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1,V2都是域 F F F上的线性空间 V V V的有限维子空间,则其交与和是有限维的,且维数满足 dim V 1 + dim V 2 = dim ( V 1 + V 2 ) + dim ( V 1 ∩ V 2 ) \dim V_1+\dim V_2=\dim (V_1+V_2)+\dim (V_1\cap V_2) dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)
推论1 设 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1,V2都是域 F F F上的线性空间 V V V的有限维子空间,则 dim V 1 + dim V 2 = dim ( V 1 + V 2 ) ⟺ V 1 ∩ V 2 = 0 \dim V_1+\dim V_2=\dim (V_1+V_2) \iff V_1\cap V_2=0 dimV1+dimV2=dim(V1+V2)⟺V1∩V2=0
三、子空间的直和
定义1 子空间的直和
设 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1,V2都是域 F F F上的线性空间 V V V的子空间,如果 V 1 + V 2 V_1+V_2 V1+V2中的每个向量 α \alpha α都能唯一地表示成 α = α 1 + α 2 , α 1 ∈ V 1 , α 2 ∈ V 2 \alpha=\alpha_1+\alpha_2, \alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_2 α=α1+α2,α1∈V1,α2∈V2
那么称 V 1 + V 2 V_1+V_2 V1+V2为直和,记为 V 1 ⊕ V 2 V_1\oplus V_2 V1⊕V2,称 V 2 是 V 1 V_2是V_1 V2是V1的一个补空间,也称 V 1 是 V 2 V_1是V_2 V1是V2的一个补空间。
注:一个子空间的补空间不唯一,但后文介绍的正交补唯一。
定理5 设 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1,V2都是域 F F F上的线性空间 V V V的子空间,则下列命题等价:
- V 1 + V 2 V_1+V_2 V1+V2为直和
- V 1 + V 2 V_1+V_2 V1+V2中零向量的表法唯一
- V 1 ∩ V 2 = 0 V_1\cap V_2=0 V1∩V2=0
- V 1 V_1 V1的一个基和 V 2 V_2 V2的一个基合起来是 V 1 + V 2 V_1+V_2 V1+V2的一个基
特别地,若 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1,V2都是域 F F F上的线性空间 V V V的有限维子空间,以上命题还等价为: - dim V 1 + dim V 2 = dim ( V 1 + V 2 ) \dim V_1+\dim V_2=\dim (V_1+V_2) dimV1+dimV2=dim(V1+V2)
以上等价命题可推广至n个子空间,只有3)需要修改为:
V i ∩ ( ∑ i ≠ j V j ) = 0 , i = 1 , 2 , . . . , s V_i \cap (\sum_{i\neq j} V_j)=0,i=1,2,...,s Vi∩(i=j∑Vj)=0,i=1,2,...,s
命题3 线性空间的每个子空间都有补空间,无论有限维或无限维。
推论2 任何n维线性空间可以分解成若干子空间的直和,只要它们的维数和为n。
3. 域 F F F上的线性空间的同构
一、线性空间同构的定义、性质和判定
定义 1 同构映射
设 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1,V2都是域 F F F上的线性空间,如果存在 V 1 到 V 2 V_1到V_2 V1到V2的双射 σ \sigma σ,且 σ \sigma σ保持加法和数乘运算,即对于任意 α , β ∈ V , k ∈ F \alpha,\beta \in V,k\in F α,β∈V,k∈F有 σ ( α + β ) = σ ( α ) + σ ( β ) \sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta) σ(α+β)=σ(α)+σ(β) σ ( k α ) = k σ ( α ) \sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha) σ(kα)=kσ(α)
则称 σ \sigma σ是 V 1 到 V 2 V_1到V_2 V1到V2的同构映射,简称同构;此时称 V 1 和 V 2 V_1和V_2 V1和V2是同构的。
性质1 σ ( 0 ) \sigma(0) σ(0)是 V 2 V_2 V2的零元,即 σ \sigma σ把零元映到零元。
性质2 对于任意 α ∈ V 1 \alpha \in V_1 α∈V1,有 σ ( − α ) = − σ ( α ) \sigma(-\alpha)=-\sigma(\alpha) σ(−α)=−σ(α),即 σ \sigma σ把负元映到负元。
性质3 σ \sigma σ把向量组的线性组合映到各向量像的线性组合。
性质4 向量组线性相关 ⟺ \iff ⟺ 向量组的像线性相关。
性质5 σ \sigma σ把基映到基,即基的像仍是所在线性空间的基。
定理1 域 F F F上的两个有限维线性空间同构,当且仅当它们维数相同。
注:只要把向量在第一个空间的坐标映到第二个空间的相同坐标的向量,即可证明。
命题1 线性空间的子空间经过同构映射后,仍然是像空间的子空间,且维数不变。
总结:
- 同构映射本质上就是对线性空间的元素进行了“重命名”操作,向量与向量之间的代数运算没有任何改变。
- 以上所有定理都是建立在域 F F F的前提下,若两个线性空间不属于同一个域,则以上结论不再适用。