题目:
X星球特别讲究秩序,所有道路都是单行线。一个甲壳虫车队,共16辆车,按照编号先后发车,夹在其它车流中,缓缓前行。
我们把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出:
f(1)= 1 //即 1
f(2)= 2 //即 12、21
f(3)= 5 //即 123、132、213、321、231
然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑:元素a只可能出现在1号位置,2号位置,3号位置和4号位置(很容易理解,一共就4个位置,比如abcd,元素a就在1号位置)。
分析:
1) 如果元素a在1号位置,那么只可能a进栈,马上出栈,此时还剩元素b、c、d等待操作,就是子问题f(3);
2) 如果元素a在2号位置,那么一定有一个元素比a先出栈,即有f(1)种可能顺序(只能是b),还剩c、d,即f(2), 根据乘法原理,一共的顺序个数为f(1)* f(2);
3) 如果元素a在3号位置,那么一定有两个元素比1先出栈,即有f(2)种可能顺序(只能是b、c),还剩d,即f(1),
根据乘法原理,一共的顺序个数为f(2) * f(1);
4) 如果元素a在4号位置,那么一定是a先进栈,最后出栈,那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解,即 f(3);
结合所有情况,即f(4) = f(3) +f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);
为了规整化,我们定义f(0) = 1;于是f(4)可以重新写为:
f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1)+ f(3)*f(0)
然后我们推广到n,推广思路和n=4时完全一样,于是我们可以得到:
f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... +f(n-1)*f(0)
即
代码1:#include <stdio.h> int main() { int f[20]; int i,j; f[0]=1; f[1]=1; f[2]=2; f[3]=5; for(i=4;i<=16;i++) f[i]=0;//注意必须给其他数组置0 for(i=4; i<=16; i++) //求16个元素 { for(j=0; j<=i-1; j++) f[i]+=f[j]*f[i-1-j]; } printf("%d",f[16]); return 0; }这道题目也可以直接用卡特兰数( c atalan)的递推公式h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1) 解决
#include <stdio.h> int main() { int n,h[20]; h[0]=1; h[1]=1; for(n=2;n<=16;n++) h[n]=h[n-1]*(4*n-2)/(n+1); printf("%d\n",h[16]); return 0; }
令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递推式[1]:
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
例如:h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另类递推式[2]:
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
递推关系的解为:
h(n)=C(n,2n)*(2n-1) (n=0,1,2,...)
递推关系的另类解为:
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)
关于卡特兰数,有下面几个比较好的文章,(若点击不能自动跳转,可手动复制网址)