卡特兰数是组合数学里的一个概念，然而不少人都在一些面试里直接看到考卡特兰数的题：
比如直接找规律的题？1,1,2,5,14，（？）
不知道卡特兰数你猜的出来？
好了，回到正题。
首先什么是卡特兰数：h（n）
令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式 [2] ：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
递推关系的另类解为：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)
总的就是：h(n)=c(2n,n)/(n+1)
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卡特兰数和栈什么关系？
一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?
首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。（我们假定，最后出栈的元素为k，显然，k取不同值时的情况是相互独立的，也就是求出每种k最后出栈的情况数后可用加法原则，由于k最后出栈，因此，在k入栈之前，比k小的值均出栈，此处情况有f(k-1)种，而之后比k大的值入栈，且都在k之前出栈，因此有f(n-k)种方式，由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独立的，此处可用乘法原则，f(n-k)*f(k-1)种，求和便是Catalan递归式。
那么还有另一个问题：给定一个以字符串形式表示的入栈序列，判断那种出栈是合法的？
介绍个规律：
对于出栈序列中的每一个数字，在它后面的、比它小的所有数字，一定是按递减顺序排列的。
比如入栈顺序为：1 2 3 4。
出栈顺序：4 3 2 1是合法的，对于数字 4 而言，比它小的后面的数字是：3 2 1，且这个顺序是递减顺序。同样地，对于数字 3 而言，比它小的后面的数字是： 2 1，且这个顺序是递减的。....
出栈顺序：1 2 3 4 也是合法的，对于数字 1 而言，它后面没有比它更小的数字。同样地，对于数字 2 而言，它后面也没有比它更小的数字。
出栈顺序：3 2 4 1 也是合法的，对于数字 3 而言，它后面比 3 小的数字有： 2 1，这个顺序是递减的；对于数字 2 而言，它后面的比它 小的数字只有 1，也算符合递减顺序；对于数字 4 而言，它后面的比它小的数字也只有1，因此也符合递减顺序。
出栈顺序：3 1 4 2 是不合法的，因为对于数字 3 而言，在3后面的比3小的数字有：1 2，这个顺序是一个递增的顺序(1-->2)。
因此，当给定一个序列时，通过这个规律 可以轻松地判断 哪些序列是合法的，哪些序列是非法的。
这个规律是什么原理呢？
注意：k最后出栈，因此，在k入栈之前，比k小的值均出栈，此处情况有f(k-1)种，而之后比k大的值入栈，且都在k之前出栈。
1 2 3 4，对4而言，比他小的数，提前先出栈了，和他没关系，同理，对3而言，12什么顺序和他没关系。
因此一个数往右看，比他大的数和他没关系。
3 1 4 2 是不合法的，为什么？一个数往右看比他小的数 ，比如2是3往右看到的，是最后出栈的，1和她没关系，但是3,4应该是在2入栈后在入栈的，可以想象1必须在2之前，然后栈里面2在底部，比2大的先出栈，但是出去也一定是在1之后，因此可以是1342或者1432.
一个数往右看比他小的数如果是升序，就会出现这样的情况。若是降序则OK。
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参考：
