一般法则
for循环
一次for循环的运行时间至多是该for循环内语句(包括测试)的运行时间乘以迭代的次数。
这个很简单,就不说了。n次循环那它的时间复杂度就是O(N)。
嵌套的for循环
从里向外分析这些循环。在一组嵌套循环内部的一条语句总的运行时间为该语句的运行时间乘以改组所有for循环的大小的乘积。
对于下面这个循环来说,里层循环次数为0到n-1次,即n次,外层同理。相乘便得到结果
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
k++;
那如果内层循环是这样呢?
for(i=0;i<n;i++)
for(j=2;j<n;j++)
k++;
一样的,内层循环次数n-2次,外层循环n次。相乘得到结果。但我们一般忽略常数项和低阶项。所以结果为。
有人可能会想,忽略低阶项那精度不就变了吗?但实际上时间复杂度的计算精度要求本来就很低,我们常说的时间复杂度的实际上是该算法最坏情况时间复杂度。即该算法在最坏情况下的运行时间不会比这个更低。
也就是说我们求的实际上是“下界”,对于它我们并不要求要有很高的精度。
回到正题,如果再改一下,现在内层循环是这样呢?
for(i=0;i<n;i++)
for(j=i;j<n;j++)
k++;
直接看最坏情况下内层循环运行时间。先看看“j=i",当外层i=0时,内层循环j=0,此时内层循环执行n次。随着i增长,j的执行次数从n变成(n-1),(n-2)直到(n-1)。对它们求和我们得到
但这玩意并不用算,也不用什么数列求和啥的去解,甚至写上面那步都是多余的。
还记得我们求的是下界(最坏情况时间复杂度)吗?那么我们看看最内层循环的语句最多执行多少次--还是n。所以我们直接得到内层循环的大小为n。外层也是n。结果为
顺序语句
这个也没啥好说的,假设你的程序现在是这样的。
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int num = 0;
int n;
cin >> n;
for (int i = 0;i < n;i++)
num++;
for (int i = 0;i < n;i++)
for (int j = 0;j < n;j++)
num++;
}
我们将各语句的运行时间求和就可以了。其实还是看最高的那项,结果为
if/else语句
和循环一样的,我们还是看它的最坏情况下的时间复杂度。找if/else里面运行时间最久的那个就行。结果还是为
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int num = 0;
int n;
cin >> n;
if (n == 0)
{
for (int i = 0;i < n;i++)
num++;
}
else if (n == 1)
{
for (int i = 0;i < n;i++)
for (int j = 0;j < n;j++)
num++;
}
}