1. 题目
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给你一个非负整数 x ,计算并返回 x 的 算术平方根 。
由于返回类型是整数,结果只保留 整数部分 ,小数部分将被 舍去 。
注意:不允许使用任何内置指数函数和算符,例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。
示例 1:
输入:x = 4
输出:2
示例 2:
输入:x = 8
输出:2
解释:8 的算术平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数,小数部分将被舍去。
提示:
0 <= x <= 231 - 1
2. 思路
因为只保留整数部分,所以ans 是满足 k2 ≤ x 的最大 k 值
解法一:对数函数求平方根
【注意:返回值为浮点数,会产生精度问题】
解法二:二分法搜索k
解法三:牛顿迭代法
- 将题目转化成求解函数零点
- 牛顿迭代法的本质是借助泰勒级数,从初始值开始快速向零点逼近。
- 实现过程
- 实现细节
3. 代码实现
解法二:二分法搜索k
class Solution {
public:
int mySqrt(int x) {
int left = 0;
int right = x;
int ans = -1;
while(left <= right){
int middle = left + (right - left) / 2;
if((long long)middle*middle <= x){
ans = middle; // 满足条件的k, 最后更新得到ans
left = middle + 1;
}else{
right = middle - 1;
}
}
return ans;
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度: O ( l o g x ) O(logx) O(logx),即为二分查找需要的次数。
- 空间复杂度: O ( 1 ) O(1) O(1)
解法三:牛顿迭代法
class Solution {
public:
int mySqrt(int x) {
if (x == 0) return 0;
// 设置迭代初始值
double x0 = x;
double C = x;
while(true){
double x1 = 0.5 * (x0 + C/x0); // 根据公式得到下一个点x(i+1)
if(fabs(x1 - x0) < 1e-7) break;
x0 = x1; // 更新点xi
}
return int(x0);
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度: O ( l o g x ) O(logx) O(logx),此方法是二次收敛的,相较于二分查找更快。
- 空间复杂度: O ( 1 ) O(1) O(1)。
4. 总结
1. 溢出判断
(long long)middle*middle <= x
- 这里middle的取值范围为0 <= middle <= 231 - 1,则0 <= middle * middle < 262
- 而int型变量的取值范围为231 <= middle <= 231
- 因为需要将变量类型转换为long
2. 已知直线斜率和直线上一点,直线方程的表达公式
3. abs()与fabs()
- abs( )主要用于对求整数的绝对值,在“stdlib.h”(或 )头文件里面。
- 而fabs( )主要是求精度要求更高的double ,float 型的绝对值,在< cmath>头文件里。
- 两者在只#include< cmath>时都可以使用。
4. 订正数学习惯写法
double x1 = 1/2 * (x0 + C/x0); // 根据公式得到下一个点x(i+1)
写成这种形式会一直循环下去,因为这里的1/2会得到0!