1.图解曲线积分的对称性
1.1 第一类曲线积分的一般对称性
二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的一般对称性其原理都类似
平面曲线和空间曲线的原理一样,以下内容以空间曲线为例
图中所示为积分区域 Γ \Gamma Γ,函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)表示点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)处的密度大小,可以用颜色深浅表示,但画图过于繁琐,所以被积函数并没有进行可视化
积分区域空间曲线 Γ \Gamma Γ关于 x x x的偶函数(即关于 y o z yoz yoz平面对称)
积分区域空间曲线 Γ \Gamma Γ关于 y y y的偶函数(即关于 x o z xoz xoz平面对称)
积分区域空间曲线 Γ \Gamma Γ关于 z z z的偶函数(即关于 x o y xoy xoy平面对称)
1.2 第一类曲线积分的轮换对称性
轮换对称性意味着积分区域 L L L的表达式在 x 、 y 、 z x 、 y 、 z x、y、z互换后形式仍不变,即积分与积分变量无关
例:
L : { x 2 + y 2 + z 2 = a 2 x + y + z = 0 L:\begin{equation} \begin{cases} x^2+y^2+z^2&=a^2\\ x+y+z&=0 \end{cases} \end{equation} L:{
x2+y2+z2x+y+z=a2=0
求 ∮ L x 2 d s \oint_Lx^2ds ∮Lx2ds、 ∮ L x d s \oint_Lxds ∮Lxds
球体与平面的交线即为积分区域空间曲线 L L L
变量 x 、 y x、y x、y互换后表达式为: y 2 + x 2 + z 2 = a 2 y^2+x^2+z^2=a^2 y2+x2+z2=a2,表达式不变
变量 y 、 z y、z y、z互换后表达式为: x 2 + z 2 + y 2 = a 2 x^2+z^2+y^2=a^2 x2+z2+y2=a2,表达式不变
变量 x 、 z x、z x、z互换后表达式为: z 2 + y 2 + x 2 = a 2 z^2+y^2+x^2=a^2 z2+y2+x2=a2,表达式不变
通过验证,积分区域的表达式一具有轮换对称性,则将被积函数中 x x x替换为 y y y和 z z z后积分大小不变
∮ L x 2 d s = ∮ L y 2 d s = ∮ L z 2 d s ∮ L x 2 d s = 1 3 ( ∮ L x 2 d s + ∮ L y 2 d s + ∮ L z 2 d s ) ∮ L x 2 d s = 1 3 ( ∮ L x 2 + y 2 + z 2 d s ) ∮ L x 2 d s = a 2 3 ( ∮ L d s ) = a 2 3 ⋅ 2 π a = 2 3 π a 3 \oint_Lx^2ds=\oint_Ly^2ds=\oint_Lz^2ds\\ ~\\ \oint_Lx^2ds=\frac{1}{3}\big(\oint_Lx^2ds+\oint_Ly^2ds+\oint_Lz^2ds\big)\\ ~\\ \oint_Lx^2ds=\frac{1}{3}\big(\oint_Lx^2+y^2+z^2ds\big)\\ ~\\ \oint_Lx^2ds=\frac{a^2}{3}\big(\oint_Lds\big)=\frac{a^2}{3}\cdot2\pi a=\frac{2}{3}\pi a^3\\ ∮Lx2ds=∮Ly2ds=∮Lz2ds ∮Lx2ds=31(∮Lx2ds+∮Ly2ds+∮Lz2ds) ∮Lx2ds=31(∮Lx2+y2+z2ds) ∮Lx2ds=3a2(∮Lds)=3a2⋅2πa=32πa3
变量 x 、 y x、y x、y互换后表达式为: y + x + z = 0 y+x+z=0 y+x+z=0,表达式不变
变量 y 、 z y、z y、z互换后表达式为: x + z + y = 0 x+z+y=0 x+z+y=0,表达式不变
变量 x 、 z x、z x、z互换后表达式为: z + y + x = 0 z+y+x=0 z+y+x=0,表达式不变
通过验证,积分区域的表达式二具有轮换对称性,则将被积函数中 x x x替换为 y y y和 z z z后积分大小不变
∮ L x d s = ∮ L y d s = ∮ L z d s ∮ L x d s = 1 3 ( ∮ L x d s + ∮ L y d s + ∮ L z d s ) ∮ L x d s = 1 3 ( ∮ L x + y + z d s ) = 1 3 ( ∮ L 0 d s ) = 0 \oint_Lxds=\oint_Lyds=\oint_Lzds\\ ~\\ \oint_Lxds=\frac{1}{3}\big(\oint_Lxds+\oint_Lyds+\oint_Lzds\big)\\ ~\\ \oint_Lxds=\frac{1}{3}\big(\oint_Lx+y+zds\big)=\frac{1}{3}\big(\oint_L0ds\big)=0\\ ∮Lxds=∮Lyds=∮Lzds ∮Lxds=31(∮Lxds+∮Lyds+∮Lzds) ∮Lxds=31(∮Lx+y+zds)=31(∮L0ds)=0
1.3 第二类曲线积分的一般对称性
积分区域为平面曲线的情况
平面曲线 L L L关于 y y y轴对称
平面曲线 L L L关于 x x x轴对称
积分区域为空间曲线的情况
空间曲线 Γ \Gamma Γ是关于 x x x的偶函数(即关于 y o z yoz yoz平面对称)
空间曲线 Γ \Gamma Γ是关于 y y y的偶函数(即关于 x o z xoz xoz平面对称)
空间曲线 Γ \Gamma Γ是关于 z z z的偶函数(即关于 x o y xoy xoy平面对称)