1.图解三重积分的对称性

关于三重积分详见：三重积分(Triple Integral)
三重积分的对称性原理与二重积分类似，关于二重积分的对称性详见：图解二重积分的对称性

被积函数$f(x,y,z)$可以有不同的物理意义，本文以体密度为例，容易在三维空间可视化。$f(x,y,z)$表示点$(x,y,z)$处的密度大小。其实在图中积分区域上可以用颜色深浅表示密度大小，画图有些繁琐，故图中并没有可视化被积函数。本文图中只用了两种颜色区分${\Omega }_1、{\Omega }_2$

密度和质量可以是负数？ 关于这个问题详见：【物理】密度可以为负数吗？有什么意义？——液体密度参照系

1.1积分区域$\Omega$是关于$x$的偶函数（即关于$yoz$平面对称）

1.2积分区域$\Omega$是关于$y$的偶函数（即关于$xoz$平面对称）

1.3积分区域$\Omega$是关于$z$的偶函数（即关于$xoy$平面对称）

2.三重积分的轮换对称性

轮换对称性意味着积分区域$\Omega$的表达式在$x、y、z$互换后形式仍不变，即积分与积分变量无关
例：设 $\Omega =\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\le 1\}$，求${\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dxdydz=$
积分区域$\Omega$表达式：$x^2+y^2+z^2\le 1$
在原表达式基础上变量$x、y$互换后表达式为：$y^2+x^2+z^2\le 1$，表达式不变
在原表达式基础上变量$y、z$互换后表达式为：$x^2+z^2+y^2\le 1$，表达式不变
在原表达式基础上变量$x、z$互换后表达式为：$z^2+y^2+x^2\le 1$，表达式不变
通过验证，积分区域具有轮换对称性，则将被积函数中$z$替换为$x$和$y$后积分大小不变
$${\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dxdydz={\iiint }_{\Omega }{x}^{2}dxdydz={\iiint }_{\Omega }{y}^{2}dxdydz$$
$$\begin{gathered} {\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dxdydz=\frac{1}{3}({\iiint }_{\Omega }{x}^{2}dxdydz+{\iiint }_{\Omega }{y}^{2}dxdydz+{\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dxdydz) \\ {\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dxdydz=\frac{1}{3}({\iiint }_{\Omega }{x}^2+y^2+z^{2}dxdydz) \end{gathered}$$
因积分区域为球体，所以使用球坐标系求解较为简单
$${\iiint }_{\Omega }{x}^2+y^2+z^{2}dxdydz={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }d\varphi {\int }_0^R{r}^2\cdot r^{2}sin\varphi dr=\frac{4}{5}\pi R^5$$
最终结果如下：
$${\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dxdydz=\frac{1}{3}\cdot \frac{4}{5}\pi R^5\stackrel{\text{R=1}}{=}\frac{4}{15}\pi$$