哈工大近世代数期末复习

近世代数是抽象代数的一个分支,是计算机科学和人工智能大数据的基础.

本文内容有点长,大家可以通过index来跳转到想要看的章节,第十章的总结在我的主页里下载

1.代数系

半群:满足结合律的代数系

交换半群:满足交换律的半群

群：判定方法有两种

method1

有单位元
有逆元
运算满足结合律

method2：

运算满足结合律
运算满足左右消去律

交换群(Abel群)：

定义:满足交换律的群

应用: 后面讲环的时候会用到Abel群,判定一个代数系(R,+,◦)是环:

( R, +)为一个 Abel群：
( R, ◦)为一个半群； ∀ a, b, c ∈ R( a ◦ b) ◦ c = a ◦ ( b ◦ c）
乘法对加法满足左、右分配律： ∀ a, b, c ∈ R

a ◦ ( b + c) = ( a ◦ b) + ( a ◦ c)

( b + c) ◦ a = ( b ◦ a) + ( c ◦ a)

交换群可以衍生出很多好的性质

2.群的简单性质

群满足消去律

练习1答案方法的解释

有限群的每个元素的阶不超过该有限群的阶。

根据群的阶判断元素的阶

练习6注释:根据练习4 5得到：阶大于2的元素成对出现则 |G| = 2n= 2k+l+1得到l是奇数、

练习六也就是说偶数阶群2n一定存在一个阶为2的元素,也就是说一定存在n阶商群(后面会提到)

证明：一/二/三/四/五阶群是交换群

如何证明五阶一下的群都是交换群 (利用后面的拉格朗日的定理干掉前四个)

如何证明六阶群中肯定存在一个三阶子群

3.子群生成子群

子群

H是G的子群要满足三个条件

H元素非空
H中对于G中的运算封闭
H是G的子集

eg:找出3次对称群的所有子群。

解 . (1)， { (1) ,(1 , 2) }， { (1) ,(1 , 3) }， { (1) ,(2 , 3) }， { (1) ,(123) ,(132) }， S3。

判断子群的充要条件

同理在子环和子域中也有类似的证明

定理：设( G1 , ◦)和( G2 , ∗)都是群， ϕ : G1 → G2， ∀ a, b ∈ G1， ϕ( a ◦ b) = ϕ( a) ∗ ϕ( b)，证明： ϕ −1 ( e2)为 G1的子群，其中 e2为 G2的单位元素。

群G的任意多个子群的交还是G的子群

任一群不能是其两个真子群的并

1. 举例说明两个子群的并可以不是子群。

解 . S6 = { [0] , [1] , [2] , [3] , [4] , [5] }， { [0] , [2] , [4] }和 { [0] , [3] }为 S6的两个子群，但 { [0] , [2] , [4] }∪{ [0] , [3] } = { [0] , [2] , [3] , [4] }不是 S6的子群，因为[2] + [3] = [5] ∉ { [0] , [2] , [3] , [4] }。

2.设G1和G2为群G的两个真子群，证明：G1 ∪ G2为G的子群的充分必要条件是G1 ⊆ G2或者G2 ⊆ G1。

如果 G1 ⊆ G2或者 G2 ⊆ G1，则 G1 ∪ G2 = G2或 G1，此时显然 G1 ∪ G2为 G的子群。如果 G1 ∪ G2为 G的子群，以下用反证法证明 G1 ⊆ G2或者 G2 ⊆ G1。

假设 G1 ⊈ G2并且 G2 ⊈ G1，则存在 g2 ∈ G2，但是 g2∉ G1，同时存在 g1 ∈ G1，但是 g1

∉ G2。于是 G1为 G1 ∪ G2的真子集， G2为 G1 ∪ G2的真子集，易得 G1和 G2为 G1 ∪ G2的真子群，由于任一群不能是两个真子群的并,矛盾。

群G的中心C是G的可交换子群。

中心: 群G的元素a称为G的中心元素，如果a与G的每个元素可交换，即∀x ∈ G, ax = xa。G的所有中心元素构成的集合C称为G的中心。

不要忘记先证明他是一个群形式有点像正规子群

生成子群

设 M为 G的一个非空子集， G的包含 M的所有子群的交称为由 M生成的子群，记为( M)。

有一点像细胞分裂

推论:有限生成子群仍然是循环群

证明(Q, )的每个有限生成子群都是循环群？ - 知乎 (zhihu.com)

4.变换群同构

同构:

设(G1, ◦)，(G2, ∗)为两个群。如果存在一个双射ϕ : G1 → G2，使得∀a, b ∈ G， ϕ(a ◦ b) = ϕ(a) ∗ ϕ(b), 则称群G1与G2同构，记为G1 ≅ G2。ϕ称为从G1到G2的一个同构。

同构和同态区别和联系:

都满足那个等式
不同:同态不一定要求是双射

变换群

对称群:设 S为一个非空集合，从 S到 S的所有双射构成的集合对映射的合成构成一个群，称为 S上的对称群，记为 Sym( S)。当 S = { 1 , 2 , · · · , n }时， Sym( S) = S n。

变换群: Sym( S)的任意一个子群称为 S上的一个变换群。 S n的任意一个子群称

为一个置换群。

定理:任何一个群都同构于某个变换群。（Caley定理)

推论:任意一个 n阶有限群同构于 n次对称群 S n的一个 n阶子群，亦即任意一个

有限群同构于某个置换群。

练习:

证明一个群是一个变换群
证明是同构,关键是找到一个映射,先证明是一个映射,再证明是一个满射,再证明符合同构的等式。

5.循环群

循环群的定义:

如果G是由其中的某个元素a生成的，即G = (a) = {· · · , a−2 , a−1 , e, a, a2 , · · · }

整数加法群(Z,+)为循环群,其生成元为1。
模n同余类加群Zn = { [0], [1], · · · , [n − 1]}为一个阶为n的有限循环群,其生成元为[1]。

循环群的阶:

循环群的同构:

无穷循环群同构于整数加群(Z, +)，即如果不计同构，无穷循环群只有一个，就是整数加群；
阶为n的有限循环群同构于模n同余类加群(Zn, +)，即如果不计同构,n阶循环群只有一个，就是模n同余类加群。

这个定理告诉我们可以以整数加群和模n同余的整数加群为为媒介,证明两个子群同构

example

循环群子群的阶:

循环群的性质

循环群仍然是交换群原因循环群中的每一个元素都可以表示成a的多少次方，那么a^(i+j) = a^(j+i)显然是一个交换群
循环群的子群仍然是循环群
循环群的子群仍然是该循环群的正规子群

最大公约数

d为 a和 b的最大公约数表示为d=( a, b)

两个定理

设a, b ∈ Z，a和b不全为0，则∃m, n ∈ Z使得(a, b) = ma + nb。
设 a, b ∈ Z， b > 0， a = qb + r，0 ≤ r < b，则( a, b) = ( b, r)。

example 计算(266 , 112)，并将其表示成 m · 266 + n · 112的形式

循环群的阶和最大公约数

子群的陪集拉格朗日定理

Concept: 群子集的乘法

AB = { ab | a ∈ A且 b ∈ B }
∀ g ∈ G, A ∈ 2 G , { g } A简写为 gA，即 gA = { ga | a ∈ A }。 A { g }简写为 Ag，

即 Ag = { ag | a ∈ A }。
设 G为一个群，则 ∀ A, B, C ∈ 2 G，( AB) C = A( BC)。