论文精讲 | 量子计算二维Isometric张量网络态

分享人：吴绍君 ｜学校**：电子科技大学**

内容简介

在模拟量子多体系统时，克服复杂性的指数增长是物理学中一个具有挑战性的目标。目前，对于一维量子系统的基态性质，基于张量网络态（TNS）的方法已经提供了一种有效地方式来给出基本精确的数值解。在二维系统中，通过引入一些算法来优化各种晶格模型的TNS也取得了一些进展。本次，将介绍一种新的量子态的表示方法，即Isometric TNS，该方法可以用于描述二维系统的量子态，并且具有计算上的优势；另外，还将介绍如何利用局部测量来重构MPS的方法，该方法只有线性数量的操作。

相关论文1

**标题：Isometric Tensor Network States in Two Dimensions
作者：Michael P. Zaletel and Frank Pollmann
期刊：**Phys. Rev. Lett. 124, 037201（2020）

**发表日期：**2020年1月24日

相关论文2

**标题：Efficient quantum state tomography
作者：Marcus Cramer, Martin B. Plenio, Steven T. Flammia, Rolando Somma, David Gross, Stephen D. Bartlett, Olivier Landon-Cardinal, David Poulin & Yi-Kai Liu
期刊：**Nature Communications 1, 149（2010）

**发表时间：**2010年12月21号

**引言
**

（图片来源：Nature volume 618, pages500–505 (2023)）

最近，IBM实现了在127个量子处理器上进行2维横场Ising模型的模拟，为了进行对比，需要利用经典模拟来求出精确结果。该工作分别用weight-1，weight-10以及weight-17观测量来测量5步trotter的量子电路，得到的实验结果如图。

在为了得到精确解进行经典模拟时，这里采用了Light-cone and depth-reduced（LCDR）的方法。它分为两部分，一部分是通过量子门之间的特性来减少需要模拟的电路层数；另一部分是考虑与观测量A相关的量子比特是局部的，也就是说只需要考虑一部分量子比特的演化就可以计算最终观测量的结果而非全部的127个比特。weight-1,weight-10以及weight-17观测量的相关量子比特数分别为31,37,68。值得注意的是，68个量子比特的模拟仍然超出了经典计算机的暴力模拟的能力。因此，该工作引入了张量网络，1D matrix product states(MPS) 和2D isometric tensor network states(iso TNS), 来进行模拟。

**矩阵乘积态（MPS）简介
**

1、张量基础知识

（1）定义与图形表示

（2）相同指标的收缩

2、MPS

对于一维的有N个格点的系统，若每个格点有d个量子态，则多体态的希尔伯特空间可以表示为格点希尔伯特空间的张量积：

相应任意多体态可以表示为：

（图片来源：arXir:1603.03039, 2016）

矩阵乘积态(MPS)的核心思想是将多体态表示为:

（图片来源：arXir:1603.03039, 2016）

每个单元是一个三阶张量，其中，物理指标是格点量子态，辅助指标可以看作其与左右系统之间的量子纠缠。

SVD分解：

对于一般的复矩阵A存在一个分解使,其中

是一个维度为的对角矩阵，对角线上的元素被称为奇异值。一般而言奇异值沿对角线按照从大到小的顺序排列。

（图片来源：arXir:1603.03039, 2016）

其中S代表奇异值。如果系统两部分之间纠缠不强，奇异值的谱往往衰减很快，只需保留较少的奇异值，就可以保留矩阵大部分的信息。假设我们规定每组施密特分解保留不超过 m个奇异值，最终我们只需要个实数就能近似表示出这个多体态。相比原本需要个参数的表示方法，这种表示对于格点数有线性的空间复杂度，效率远远高于原张量积表示指数增长的复杂度。

（图片来源：arXir:1603.03039, 2016）

MPS得到的过程：

（图片来源：arXir:1603.03039, 2016）

MPO：

对于一个多体算符，像态一样，我们可以将多体算符写为矩阵乘积的形式(MPO)：

和态不同的是，局域算符组成的哈密顿量自然地可以写为矩阵乘积的形式：

（图片来源：arXir:1603.03039, 2016）

矩阵乘积算符作用与矩阵乘积态后仍然保持矩阵乘积结构：

（图片来源：arXir:1603.03039, 2016）

Isometric tensor network states in two dimensions

1、摘要

张量网络态是一种很有前途但在数值上具有挑战性的二维量子多体问题的工具。在这篇文章中，作者引入了有isometric限制的TNS ansatz，该形式允许张量网络的高效收缩。为了对ansatz进行数值基准测试，作者首先证明了二维横向场Ising模型基态的MPS表示可以有效地转换为isoTNS，其实，作者实现了一个2D的TEBD算法，并表明它有效地找到了isoTNS形式下二维模型基态的近似值。

2、Isometric张量网络态

1）isometry条件：对于一个维矩阵M，或

。张量图示中，一般用箭头表明正交性，规定将张量的内向指标和其共轭张量收缩后得到单位阵。

2）MPS的canonical形式：

其中，A，B满足左右正交条件。左正交条件是指对于前个量子和自己的转置的缩并是单位阵，右正交条件是指后面的个量子和自己的转置的缩并是单位阵，表示一个对角线元素递减的对角阵，也被叫做正交中心。

3) 局部操作的期望值可以直接由得到，因为其外部的A B张量根据isometry条件收缩为1。

（图片来源：Phys. Rev. Lett. 124, 037201）

推广到二维：

通过类比上式，我们要求TNS的每一行每一列都是isometry，这一约束可以通过进一步要求每个张量是isometry。如上图d所示，红色的部分只有内向箭头，因此，这就是TNS的一维“正交超曲面”，是标准正交基下的波函数，因此，可以像MPS一样处理，并且可以将其本身放入一维canonical形式（它的正交中心可以使用一维标准算法自由移动）。对于任意一个算子，都有，也就是说，存在一维期望值的降维，该值可以通过标准MPS算法有效地计算而无需进一步近似。这与一般的TNS形成鲜明对比，在一般的TNS中，期望值需要使用整个网络的近似收缩。

3、移动正交超曲面

中心正交形式只有在正交超曲面Lammda可以在整个网络中有效移动时，才对计算有用。在一维中，我们可以通过任意正交矩阵的分解（QR或SVD）来实现正交中心的移动。在二维中，我们同样要实现对整列的移动。但对于二维系统，正交矩阵分解的方法是失效的，因为它会破坏将表示为MPS所需要的局部性。

（图片来源：Phys. Rev. Lett. 124, 037201）

在该文章中，作者使用了Moses Move方法来实现对于正交曲面中心的移动。如上图所示，经过MM算法，正交超曲面分为左正交和无物理指标的零列状态的乘积。其中，解压缩是通过连续应用图（b）中所示的“分裂”过程来完成的。中心点的指标被分组成三态，并分两步“分裂”成三个张量。

4、MPS 扩展到 isoNTS

（图片来源：Phys. Rev. Lett. 124, 037201）

给定一个上的基态波函数，作者提出了一种迭代算法可以将放入isoTNS中，并对sing横向场模型进行了测试。考虑一条的条带，并使用DMRG获得1D的MPS 的基态，其中每个“位点”包含相应行的自旋[图(a)]。如图a中第3个图所示，然后可以使用MM迭代地“分裂”波函数的列，产生isoTNS。在该例子中，选择bond dimension为6，当g=3.5（顺磁相位)，在每个site误差为。在本例中，。结果如图所示，在图b中展示了沿着正交超曲面进行分割的纠缠熵随着迭代次数的增加而减小。图c说明，对于，着迭代次数的增加纠缠熵是线性衰减的，符合预期。

5、算法

（图片来源：Phys. Rev. Lett. 124, 037201）

作者还实现了算法，TEBD的主要思路是，利用基于Trotter-Suzuki分解的退火算法，随机初始化的MPS态演化到基态，将该演化过程转换为张量网络收缩问题，并使用TEBD算法求解该收缩。具体来说，对于isoTNS提出了一个Trotterized time stepper，它可以通过虚时演化获得基态。假设只存在最近邻相互作用，我们将哈密顿量拆分为作用于列和行的项，然后进行Trotterized ，如图(a)所示。对于1D的TEBD更新，可以很容易地改进到二阶。我们从正交中心开始,然后，通过调用标准1D TEBD算法和MM算法逐步的将正交中心移动。在一次扫描中，该算法实际上是两个嵌套的1D TEBD版本，因此称为。其中，的演化是通过调用1D TEBD来实现的，其复杂度，MM的复杂度，而无约束的PEPS的完整更新复杂度为。图(c)显示了在不同系统尺寸和最大键维下，g=3.5横场Ising模型的能量误差密度作为Trotter步长的函数。随着键尺寸的增加，最小能量向精确结果收敛。