原题

　　已知函数$f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2$有两个零点
　　(1)　求$a$的取值范围
　　(2)　设$x_1,x_2$是函数的两个零点，证明：$x_1+x_2<2$

第一问

　　求导
　　$f'(x)=(e^x+2a)(x-1)$
　　(i)若$a>0$
　　这个时候函数先单调减后单调增，极小值$f(1)=-e<0$
　　秘技：反复横跳 取$b$满足$b<\ln a$且$b<2$，则$f(b)=(b-2)e^b+a(b-1)^2>(b-2)a+a(b-1)^2=a(b^2-b-3)$，恒大于$0$。
　　答案玩的太炫酷了，原来这就是全国卷啊。
　　右边就很好找了，直接令$x=2$即可。
　　所以说$a>0$时有两个零点
　　(ii)$a=0$
　　这个时候$f(x)=e^x(x-1)$，只有一个零点
　　(iii)$a<0$
　　设$x_0=\ln(-2a)$，则$x_0$和$1$是$f'(x)$的两个零点
　　如果$x_0\leq1$，根据$x\leq1$时$f(x)<0$和增-减-增的图像，可知此时$f(x)$的零点个数少于两个
　　如果$x_0>1$，根据$x\leq1$时$f(x)<0$和增-减-增的图像，可知此时零点个数少于两个
　　综上$a>0$
　　吐槽：太丧病了，我全程看答案

第二问

　　不妨设$x_1<1,x_2>1$
　　$x_1+x_2<2$
　　即$x_1<2-x_2$
　　此时$x_1,2-x_2\in(-\infty,1)$
　　由于在$(-\infty,1)$上函数是单调递减的
　　就成了证明$f(x_1)=0>f(2-x_2)$
　　$f(2-x_2)=-x_2e^{2-x_2}+a(x_2-1)^2$
　　$f(x_2)=(x_2-2)e^{x_2}+a(x_2-1)^2=0$
　　消掉$a$，得到$f(2-x_2)=\frac{1}{e^{x_2}}(-e^2x_2-x_2e^{2x_2}+2e^{2x_2})$
　　令$g(x)=-e^2x-xe^{2x}+2e^{2x}$
　　$g'(x)=-e^2+(1-2x)e^{2x}$
　　$g''(x)=-4xe^{2x}$
　　显然$g'(0)=g'(x)_{max}=-e^2+1<0$
　　所以$g(x)$单调递减，而$g(1)=0$，所以当$x>1$时，$g(x)<0$，即$f(2-x_2)<0=f(x_1)$
　　这样就证完了

结束语