题意

将 $1$ 到 $NM$ 填入一个 $N \times M$ 的矩阵中，保证右边的数大于左边，下面的数大于上面，求满足条件矩阵的个数模以 $1e9+7$。

思路

事实上有一个更一般的叫作杨氏矩阵的东西。它满足左边的数大于右边，上面的数大于下面，但它不一定是一个完整的矩阵，如下就是一个杨氏矩阵：

而计算它的方案数又有一个叫钩子定理的东西。
定义一个杨氏矩阵为 $\lambda$ ，则填满这个矩阵的方案数 $d_{\lambda}$为：

$d_{\lambda}=\dfrac{n!}{\prod h_{\lambda} (i,j)}$

其中 $h_{\lambda}(i,j)$ 表示 $(i,j)$ 在矩阵 $\lambda$ 中的钩子数，其中钩子数 $(i,j)=$ 右边格点个数 $+$ 下面格点个数 $+1$，下面是一个杨氏矩阵中的钩子数表：

可以暂时理解为方案数是全排列除以每个格点的钩子数。

代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
#define P 1000000007
typedef long long LL;
using namespace std;
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b){x=1,y=0;return;}
    exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
    return;
}
LL inv(LL a,LL Mod)
{
    LL x,y;
    exgcd(a,Mod,x,y);
    return (x%Mod+Mod)%Mod;
}

int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        LL ans=1;
        FOR(i,2,n*m)(ans*=i)%=P;
        FOR(i,1,n)FOR(j,1,m)(ans*=inv(n+m-i-j+1,P))%=P;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}