问题描述:有n个矩形,每个矩形可以用两个正数a,b描述,表示它们的长和宽,矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中,当且仅当a<c,b<d或者a<d,b<c(相当于将矩形旋转90度在进行嵌套),例如,(1,5)可以嵌套在(6,2)内,但不能嵌套在(3,4)中,你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行,使得除了最后一个矩形外,每个矩形都可以嵌套在下一个矩形内,矩形编号的字典序应尽量小
1.矩形之间的可嵌套关系是一个典型的二元关系,可以用图来建模。若矩形X可以嵌套在矩形Y中,那从X到Y连有一条有向边,且这个有向图是无环的,因为一个矩形无法直接或间接嵌套在自己内部。因此,本题要求的就是有向无环图上的最长路径
2.仿照数字三角形的做法,可以将从j出发的最长路长度保存在d[j]中,且状态转移方程应为d[i]=max(d[i],d[j]+1)(其中i->j有边,即i可以嵌套在j中),注意下一步只能走到它的相邻点
3.根据输入的各个矩形的情况建图(这里使用邻接矩阵保存图的信息)
4.题目要求:如果有多个最优解,矩形编号的字典序应最小,故计算出所有d[i]的值后,选择最大的d[i](保证若有多个与d[i]相同的值时,取最小的i);从某个点出发可能在中途有分叉,此时也要保证选出的方案字典序最小
5.当找到一个满足d[i]==d[j]+1的结点后就立即打印从j开始的路径,并在递归返回后退出循环(因为只需找到一条符合题意的路径)。若想要打印所有的方案不能光删除break语句,否则打印出的不是想要的完整路径(这个问题需要结合递归的实际情况来考虑),所以正确方法是记录路径上的所有点,在递归结束时才一次性输出整条路径
代码不一定正确,自创了几个样例运行的
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=105;//假设矩形数量不超过105
struct Rectangle{
int c;
int k;
};
struct Rectangle rect[maxn];
int graph[maxn][maxn];//初始值为0
int d[maxn];//初始值为0
int n;
int Judge(int i,int j){//判断两个矩形是否嵌套
if((rect[i].c<rect[j].c&&rect[i].k<rect[j].k)||(rect[i].c<rect[j].k&&rect[i].k<rect[j].c))return 1;
return 0;
}
void Build(){
int i,j;
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=1;j<=n;j++){
if(Judge(i,j)&&i!=j){//i矩形嵌套在j矩形中
graph[i][j]=1;
}
}
}
}
int Dp(int i){
int j;
if(d[i]>0){//说明d[i]的值已经计算过,直接返回
return d[i];
}
d[i]=1;//若d[i]的值为0,则说明在此之前未被计算,所以置为1,表示从i出发在一条嵌套线上已有一个矩形(i本身)
for(j=1;j<=n;j++){//从i出发寻找嵌套i的下一个矩形
if(graph[i][j]==1){
d[i]=max(d[i],Dp(j)+1);//从找到的j出发继续寻找下一个
}
}
return d[i];
}
void Print_rect(int i){
int j;
printf("%d ",i);
for(j=1;j<=n;j++){//遍历寻找
if(graph[i][j]==1&&d[j]==d[i]-1){
Print_rect(j);
break;//注意此处break不可省略,因为题目只要求打印字典序最小的矩形编号
}
}
}
int main(){
int i,j;
int max=-1,maxi;
cin>>n;//读入矩形数量
for(i=1;i<=n;i++){
cin>>rect[i].c>>rect[i].k;//读入矩形的长和宽
}
Build(); //根据两个矩形是否嵌套构建相应的有向无环图
for(i=1;i<=n;i++){
Dp(i);
}
/*for(i=1;i<=n;i++){
for(j=1;j<=n;j++){
printf("%d ",graph[i][j]);
}
cout<<endl;
}*/
//至此d[i]中保存了所有的嵌套线的数量
//由于题目要求输出字典序小的矩形编号
for(i=1;i<=n;i++){
if(d[i]>max){
max=d[i];
maxi=i;
}
}
//max中保存了嵌套线的长度,maxi中保留了该线路的出发点
//printf("%d %d %d %d\n",d[1],d[2],d[3],d[4]);
printf("max=%d\n",max);
Print_rect(maxi);
return 0;
}
/*
3
1 1
2 2
3 3
*/
/*
4
3 4
7 8
5 6
1 2
*/
/*//该样例共两条路1->2->3;1->2->4
4
2 2
3 3
4 4
4 4
*/
/*
6
1 1
2 2
4 4
6 6
4 4
6 6
*/