弦图

图的基本概念

图G = (V, E)

• 子图

  $G' = (V', E'), V' \subseteq V, E' \subseteq E$为图G的子图。

• 诱导子图

  $G' = (V', E'), V' \subseteq V, E' = \{(u, v) | u, v \in V', (u, v) \in E\}$称为图G的诱导子图。

• 团

  图G中的一个子图$G‘ = (V', E')$, G’为关于V’的完全图。

• 极大团

  一个团是极大团当它不是其它团的子集。

• 最大团 $\omega(G)$团数

  点数最多的团

• 最小染色 $\chi(G)$色数

  用最少的颜色给点染色使相邻点颜色不同。

• 最大独立集 $\alpha(G)$集合个数

  最大的一个点的子集使任何两个点不相邻

• 最小团覆盖 $\kappa(G)$最少团数

  用最少个数的团覆盖所有的点。

  $\omega(G) \leq \chi(G)$

  $\alpha(G) \leq \kappa(G)$

• 弦

  连接环中不相邻的两个点的边。

• 弦图

  一个无向图当图中任意长度大于3的环都至少有一个弦的图。

• 弦图的每一个诱导子图一定是弦图

• 单纯点

  设N(v)表示与点v相邻的点集。一个点称为单纯点当{v} + N(v)的诱导子图为一个团。

  任何一个弦图都至少有一个单纯点，不是完全图的弦图至少有两个不相邻的单纯点。

• 完美消除序列

  一个点的序列（每个点出现且恰好出现一次）$v_1, v_2, \cdots, v_n$满足$v_i$在$\{v_i, v_{i+1}, \cdots, v_n\}$的诱导子图中为一个单纯点。

  定理：一个无向图是弦图当且仅当它有一个完美消除序列。

最大势算法（MCS）

从n到1的顺序依次给点标号（标号为i的点出现在完美消除序列的第i个）

label[i]表示第i个点与多少个已标号的点相邻，每次选择labeli]最大的未标号的点进行标号。

判断一个序列是否为完美消除序列

• 算法过程

  设$\{v_{i+1}, \cdots, v_n\}$中所有与$v_i$相邻的点依次为$\{v_{j1}, \cdots, v_{jk}\}$。

  只需判断$v_{j1}$是否与$v_{j2}, \cdots, v_{jk}$相邻即可。

  时间复杂度：O(m + n)。

  弦图判断问题可以在O(m + n)的时间内解决。

弦图最小染色

• 算法过程

  用MSC算法求出弦图的完美消除序列。

  完美消除序列可以从后往前依次给每个点染色，给每个点染上可以染的最小颜色。