弦图与区间图

参考资料：陈丹琦《弦图与区间图》

1. 预备知识

   图定义为\(G=(V,E)\)，其中\(V\)为点集，\(E\)为边集。

   子图定义为对于原图\(G=(V,E)\)的子图\(G'=(V',E'),V'\in V,E'\in E\)。

   对于原图\(G=(V,E)\)，诱导子图\(G'=(V',E'),V'\subseteq V,E'=\{(u,v)|u,v\in V,(u,v)\in E\}\)

   团定义为原图的一个子图为完全图称为团。极大团定义为一个团不为另一个团的子集。最大团为点数最多的团。\(\omega(G)\)表示团数。

   最小染色为用最小的颜色给点染色使相邻的点的颜色不同。\(\chi(G)\)表示色数。

   最大独立集为最大的一个点的子集使任何两个点不相邻。\(\alpha(G)\)为最大独立集的点数。

   最小团覆盖为用最少的团覆盖所有的点，\(\kappa(G)\)为用的最少的团数。

   \(\omega(G)\le \chi(G)\)，团数\(\le\)色数；\(\alpha(G)\le\kappa(G)\)，最大独立集数\(\le\)最小团覆盖数。

2. 弦图

   弦定义为一个环中连接不相邻的点的边。

   一个图被称为弦图当图中所有长度大于3的环至少有一个弦。

   弦图的每一个诱导子图都是弦图。

3. 弦图的判定

   单纯点：设\(N(v)\)表示与点\(v\)相邻的点集。一个点被称为单纯点当\(\{v\}+N(v)\)的诱导子图为一个团。

   任何一个弦图都至少有一个单纯点，不是完全图的弦图至少有两个不相邻的单纯点。

   完美消除序列：一个点的序列\(v_1,v_2,\dots,v_n\)满足\(v_i\)在\(\{v_i,v_{i+1},\dots,v_n\}\)的诱导子图中为一个单纯点。一个图为弦图当且仅当存在一个完美消除序列，证明可详见论文。