基本矩阵与本质矩阵
基本矩阵与本质矩阵的数学推导:
假设空间中一点
P=[X,Y,Z]T
。
P在相机A相平面坐标为
PA=[xA,yA,1]T
;
P在相机B相平面坐标为
PB=[xB,yB,1]T
;
相机A与相机B的内参矩阵为
K
,即可以假设A、B是同一个相机,但是空间位姿不同。
假设:
-
PA=K·(RA·P+TA)
(0)
PA=K·P
(1)
即,设
P
相对与相机A的旋转矩阵
RA
与平移矩阵
TA
为初始值(
RA=I,TA=0
),因为总要有一个参考系,此处就是假设相机A为参考系。
对相机B又可以得到:
-
PB=K·(RB·P+TB)
(2)
此处,
RB
、
TB
示在
P
相机B坐标系的相对于在相机A(初始)坐标系下的旋转与平移。
由(1)得到
P=K−1·PA
,
代入(2)得到:
-
PB=K·(RB·K−1·PA+TB)
(3)
给”=”左右左乘上
K−1
,则有:
-
K−1·PB=RB·K−1·PA+TB
(4)
左右左乘
TBx
(
TBx
满足
TBx·C=TB×C
)消去
TB
,得到:
-
TBx·K−1·PB=TBx·RB·K−1·PA
(5)
对(5)左右左乘
(K−1·PB)T
得到:
-
(K−1·PB)T·TBx·K−1·PB=(K−1·PB)T·TBx·RB·K−1·PA
(6)
由于
TBx·(K−1·PB)
垂直与
TB
与
(K−1·PB)
,所以(6)“=” 左边为0, 即:
-
(K−1·PB)T·TBx·RB·K−1·PA=0
(7)
整理得:
-
PTB·K−1T·TBx·RB·K−1·PA=0
(8)
得到的(8)即为最终表达式,又:
-
F=K−1T·TBx·RB·K−1
(基础矩阵)
-
E=TBx·RB
(本质矩阵)
从而,
BT·F·PA=0
(×)
极线推导:
对(×),可以知道,不同两个位姿拍摄的同一地点的两个(或一个)相机,获取的基础矩阵
F
是固定的。
那么,不妨代入一已知点
Pt=[xt,yt,1]T
,令
PA=Pt
,得:
-
PT·F·Pt=0
(9)
其中
F
为[3 x 3]矩阵,
Pt
为[3 x 1]矩阵,那么
F·PA
为一个[3 x 1]矩阵,记为
Q=[fp1,fp2,fp3]T
又
PT
为 [1 x 3]矩阵,
PT=[x,y,1]
,则
P·Q=0
展开为:
-
x×fp1+y×fp2+fp3=0
(10)
因
Q
为已知,故(10)为二元一次方程,可以确定一条直线,称为极线