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1001回顾:
1001 害死人不偿命的(3n+1)猜想 (15)(15 分)
卡拉兹(Callatz)猜想:
对任何一个自然数n,如果它是偶数,那么把它砍掉一半;如果它是奇数,那么把(3n+1)砍掉一半。这样一直反复砍下去,最后一定在某一步得到n=1。卡拉兹在1950年的世界数学家大会上公布了这个猜想,传说当时耶鲁大学师生齐动员,拼命想证明这个貌似很傻很天真的命题,结果闹得学生们无心学业,一心只证(3n+1),以至于有人说这是一个阴谋,卡拉兹是在蓄意延缓美国数学界教学与科研的进展……
我们今天的题目不是证明卡拉兹猜想,而是对给定的任一不超过1000的正整数n,简单地数一下,需要多少步(砍几下)才能得到n=1?
输入格式:每个测试输入包含1个测试用例,即给出自然数n的值。
输出格式:输出从n计算到1需要的步数。
1001通过代码:
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n,cnt=0;
cin>>n;
while(n!=1)
{
if(n%2==0)
n/=2;
else
n=(3*n+1)/2;
cnt++;
}
cout<<cnt;
return 0;
}
1005 继续(3n+1)猜想 (25)(25 分)
卡拉兹(Callatz)猜想已经在1001中给出了描述。在这个题目里,情况稍微有些复杂。
当我们验证卡拉兹猜想的时候,为了避免重复计算,可以记录下递推过程中遇到的每一个数。例如对n=3进行验证的时候,我们需要计算3、5、8、4、2、1,则当我们对n=5、8、4、2进行验证的时候,就可以直接判定卡拉兹猜想的真伪,而不需要重复计算,因为这4个数已经在验证3的时候遇到过了,我们称5、8、4、2是被3“覆盖”的数。我们称一个数列中的某个数n为“关键数”,如果n不能被数列中的其他数字所覆盖。
现在给定一系列待验证的数字,我们只需要验证其中的几个关键数,就可以不必再重复验证余下的数字。你的任务就是找出这些关键数字,并按从大到小的顺序输出它们。
输入格式:每个测试输入包含1个测试用例,第1行给出一个正整数K(<100),第2行给出K个互不相同的待验证的正整数n(1<n<=100)的值,数字间用空格隔开。
输出格式:每个测试用例的输出占一行,按从大到小的顺序输出关键数字。数字间用1个空格隔开,但一行中最后一个数字后没有空格。
输入样例:
6
3 5 6 7 8 11
输出样例:
7 6
分析:
本题要求大致为通过不断调用1001的算法来寻找“关键数”。“关键数”指不被组内其他数字“覆盖”的数,则可先设计判定某个数字是否被“覆盖”的函数,函数入口必须有根据1001算法变化的数字A或其在数组中的位置和待判定是否被“覆盖”的数字B。如果A在某次变化后等于B,说明B被A“覆盖”,如果A每次变化后都不等于B,则B不被A“覆盖”。
在设计完第1个函数后,设计第2个函数以判定某个数字是否被数组内其他数字“覆盖”,函数入口必须有待判定数字或待判定数字在数组中的位置,使用循环遍历数组,函数体不断调用第1个函数,如果组内某一个数字“覆盖”待判定数字,说明该数字不是“关键数”。如果待判定数不被组内其他数字“覆盖”,说明该数是“关键数”。
设计完两个函数后,在主函数体内,定义一个新数组,再遍历原数组,每次调用第2个函数,判定当前数是否为“关键数”,如果是,则存入新数组。最后对新数组排序,输出即可。
代码:
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
bool cmp(int a,int b)//适应题目的降序排序要求
{
return a>b;
}
bool Covered(int *a,int pos,int len,int cmpnum)
{//函数入口传入保存输入数的数组,数组下标,数组长度,待比较数
int n=a[pos];
while(n!=1)
{//如果n变化后等于关键字,说明n即a[pos]覆盖待比较数,返回真
if(n%2==0)
{
n/=2;
if(n==cmpnum)
return true;
}
else
{
n=(3*n+1)/2;
if(n==cmpnum)
return true;
}
}
return false;//如果循环结束,说明n即a[i]不覆盖待比较数,返回假
}
bool Judge(int *a,int i,int len)
{
for(int j=0;j<len;j++)
if(j!=i)//对数组内其他数字操作并与a[i]比较
{
if(Covered(a,j,len,a[i]))//如果a[i]被a[j]覆盖
return false;//说明a[i]不是关键数,返回假
}
return true;//如果循环结束,说明a[i]是关键数,返回真
}
int main()
{
int k,a[100],b[100];
cin>>k;
for(int i=0;i<k;i++)
cin>>a[i];
int len=0;
for(int i=0;i<k;i++)
if(Judge(a,i,k))//如果当前数字是关键数
b[len++]=a[i];//存入新数组
sort(b,b+len,cmp);//通过接口调用排序算法
for(int i=0;i<len;i++)//输出
{
cout<<b[i];
if(i!=len-1)
cout<<' ';
}
return 0;
}