题目描述
一个数组有 N 个元素,求连续子数组的最大和。 例如:[-1,2,1],和最大的连续子数组为[2,1],其和为 3
输入输出样例
输入
3 -1 2 1输出
3
下面按照时间复杂度逐步优化给出下列算法
一 . 暴力求解
先找出以第一个元素为首的最大子数组,接着找出以第二个元素为首的最大子数组,以此类推
/*
常规方法,时间复杂度O(n*n)
先从第一个元素开始向后累加,
每次累加后与之前的和比较,保留最大值,
再从第二个元素开始向后累加,以此类推。
*/
int MaxSubSum1(int *arr,int len)
{
int i,j;
int MaxSum = 0;
//每次开始累加的起始位置的循环
for(i=0;i<len;i++)
{
int CurSum = 0;
//向后累加的循环
for(j=i;j<len;j++)
{
CurSum += arr[j];
if(CurSum > MaxSum)
MaxSum = CurSum;
}
}
return MaxSum;
}
时间复杂度o(n*n)
分治求解
考虑将数组从中间分为两个子数组,则最大的比出现在三种情况之一
- 1.完全位于左边数组
- 2.完全位于右边数组
3.跨越中点,包含左右数组靠近中点的部分
具体实现: 递归左右子数组再分为两个数组,直到子数组只有一个元素
int Max3(int a,int b,int c)
{
int Max = a;
if(b>MAX)
Max = b;
if(c > Max)
Max = c;
return Max;
}
int MaxleftSum2(int *arr,int left ,int right)
{
int MaxleftSum,MaxRightSum;
int MaxLfetBorderSum,MaxRightBorderSum;//含中间边界的左右部分最大和
int LeftBorderSum,RightBorderSum;//含中间边界的左右部分当前和
int i,center;
//递归到最后的基本情况
if(left == right)
if(arr[left]>0)
return arr[left];
else
return 0;
//求含中间边界的左右部分的最大值
center = (left + right)/2;
MaxLeftBorderSum = 0;
LeftBorderSum = 0;
if(i = center;i>left;i--)
{
LeftBorderSum += arr[i];
if(LeftBorderSum >MaxLeftBorderSum)
MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
}
MaxRightBorderSum = 0;
RightBorderSum = 0;
for(i=center+1;i<=right;i++)
{
RightBorderSum += arr[i];
if(RightBorderSum > MaxRightBorderSum)
MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
}
//递归求左右部分最大值
MaxLeftSum = MaxSubSum2(arr,left,center);
MaxRightSum = MaxSubSum2(arr,center+1,right);
//返回三者中的最大值
return Max3(MaxLeftSum,MaxRightSum,MaxLeftBorderSum+MaxRightBorderSum);
}
//将分支算法封装
int MaxSubSum2_1(int *arr,int len)
{
return MaxSubSum2(arr,0,len-1);
}
设该算法的时间复杂度为T(n),则:T(n)= 2T(n/2)+ O(n),且T(1)= 1。
逐步递推得到时间复杂度T(n)= O(nlogn)。
线性时间算法
该算法在每次元素累加和小于0时,从下一个元素重新开始累加。
/*
最优方法,时间复杂度O(n)
和最大的子序列的第一个元素肯定是正数
因为元素有正有负,因此子序列的最大和一定大于0
*/
int MaxSubSum3(int *arr,int len)
{
int i;
int MaxSum = 0;
int CurSum = 0;
for(i=0;i<len;i++)
{
CurSum += arr[i];
if(CurSum > MaxSum)
MaxSum = CurSum;
//如果累加和出现小于0的情况,
//则和最大的子序列肯定不可能包含前面的元素,
//这时将累加和置0,从下个元素重新开始累加
if(CurSum < 0)
CurSum = 0;
}
return MaxSum;
}
算法复杂度:O(n),该算法的一个附带的有点是:它只对数据进行一次扫描,一旦元素被读入并被处理,它就不再需要被记忆。因此,如果数组在磁盘或磁带上,他就可以被顺序读入,在主存中不必存储数组的任何部分。不仅如此,在任意时刻,该算法都能对它已经读入的数据给出最大子数组(另外两种算法不具有这种特性)。具有这种特性的算法叫做联机算法。