在第9部分学习笔记中,我们导出了分布傅里叶变换,用以解决普通傅里叶变换难以解决的一些问题。本文的内容就是在此基础上进一步进行讨论。
一、分布傅里叶变换的导数相关性质
⟨T′,φ⟩=∫∞−∞T′(x)φ(x)dx=T(x)φ(x)|∞−∞−∫∞−∞T(x)dφ(x)
由于是缓增分布,是速降函数,因此当
x→±∞
时,
φ(x)→0
,
T(x)φ(x)→0
,于是就有:
⟨T′,φ⟩=0−∫∞−∞T(x)φ′(x)dx=−⟨T,φ′⟩
这就是我们推导的第一个非常重要的公式:
⟨T′,φ⟩=−⟨T,φ′⟩(1)
接下来我们举几个例子来应用上述公式,
单位阶跃函数
u(x)
u(x)=⎧⎩⎨⎪⎪1120x>0x=0x<0
根据
(1)
式,我们来求它的导数
u′=⟨u′,φ⟩=−⟨u,φ′⟩=−∫∞−∞u(x)φ′(x)dx=−∫∞0φ′(x)dx=−(φ(∞)−φ(0))=φ(0)=⟨δ,φ⟩=δ
于是我们就得到了
u′=δ
信号函数
sgn(x)
sgn(x)=⎧⎩⎨10−1x>0x=0x<0
类似地,我们有
sgn′=⟨sgn′,φ⟩=−⟨sgn,φ′⟩=−∫∞−∞sgn(x)φ′(x)dx=−(∫∞0φ′(x)dx+∫0−∞−φ′(x)dx)=−[(φ(∞)−φ(0))+(−φ(0)+φ(−∞))]=2φ(0)=2⟨δ,φ⟩=2δ
即
sgn′=2δ
二、分布傅里叶导数定理
类似普通傅里叶变换中讨论的,我们有:
F(T(n))=(2πis)nFT
(FT)(n)=F((−2πit)nT)
例
信号函数
sgn(x)
我们要求其傅里叶变换,首先,我们有:
F(sgn′)=F(2δ)=2
然后根据导数定理,有
F(sgn′)=2πisF(sgn)
联立二式可以得到
F(sgn)=1πis
单位阶跃函数
u(x)
简单来说,我们可以将
u(x)
写成
12(1+sng(x))
,于是就有
Fu=12F(1+sng)=12(δ+1πis)
三、函数(分布)与分布的乘积与卷积
注意分布与分布的乘积、卷积很多情况下是没有意义的,但是函数与分布的乘积与卷积大部分情况下是有意义的
函数与分布的乘积公式
⟨fT,φ⟩=⟨T,fφ⟩
证明如下
⟨fT,φ⟩=∫∞−∞f(x)T(x)φ(x)dx=∫∞−∞T(x)(f(x)φ(x))dx=⟨T,fφ⟩
两个常见例子:
a)
fδ=f(0)δ
fδ=⟨fδ,φ⟩=⟨δ,fφ⟩=f(0)φ(0)=f(0)⟨δ,φ⟩=⟨f(0)δ,φ⟩=f(0)δ
b)
fδa=f(a)δa
上式被称为
δa
的抽样特性,是实际应用中一个非常常用的公式
函数与分布的卷积公式
与普通傅里叶变换类似地,我们有:
F(f∗T)=(Ff)(FT)
同样,我们举出一个非常常用的实例
a)
F(f∗δ)=(Ff)(Fδ)=Ff
对等式两边再进行傅里叶逆变换,就有
f∗δ=f
,更一般地,我们有:
(f∗δa)(x)=f(x−a)
分布与分布的卷积公式特例
一般来说分布与分布的卷积是没有意义的,但是也有例外,比如有一个非常重要的例子:
δa∗δb=δa+b
四、
δ(ax)
从便于计算的角度出发推导,不必刻意寻求物理意义,我们可以得到
δ(kx)=1|k|δ(x)
证明如下
δ(kx)=⟨δ(kx),φ⟩=∫∞−∞δ(kx)φ(x)dx
令
u=kx
,讨论
k≥0
的情况,有
δ(kx)=∫∞−∞δ(u)φ(uk)d(uk)=1k⟨δ(u),φ(uk)⟩=1kφ(0)=1k⟨δ,φ⟩=1kδ(kx)
同理可得
k<0
的情况,得证。