这里复现胡伯涛的论文《最小割模型在信息学竞赛中的应用》的证明
给定一个有向图G(V,E),对一个子图,若满足对,必有,我们称为G的一个封闭子图
求最大权封闭子图的过程如下:
对点权为正的点u,S与u连边,容量为权值
对点权为负的点v,v与T连边,容量为权值的相反数
对原图G中的所有边<u,v>,u与v连边,容量为无穷
设最小割为c[S,T]
c[S,T]为简单割
证明:若c[S,T]不是简单割,必定包含容量无穷的边,必定不为最小割
S对应封闭子图
证明:若,必有残余流经过S-u-v-T,此时与最小割c[S,T]假设矛盾,故S符合的定义
故求方案时只需将S中的点选取即可,即从S出发,沿有残余流的边跑bfs,能够到达的点均为闭合子图中的点
下证通过最小割可以选取最大权封闭子图
设V1的补集为V2,同样可以证明T对应V2
移项得
即用所有正点权减去最小割即求得封闭子图的点权,当c[S,T]最小时,封闭子图的点权最大,即最小割对应最大权封闭子图