6887: 游戏
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题目描述
九条可怜是一个热爱游戏的女孩子，她经常在网上和一些网友们玩一款叫做《僵尸危机》游戏。
在这款游戏中，玩家们会需要在成为僵尸之前与黑恶势力斗智斗勇，逃离被病毒感染的小岛。但是黑恶势力不会让玩家轻易得逞，他会把一些玩家抓走改造成僵尸。变成僵尸的玩家会攻击其他的玩家，被攻击的玩家会被”感染”，成为病毒的潜在宿主。
具体来说，游戏开始时，所有的玩家会获得一个L∼R的编号(如果一共有R−L+1个玩家)，不同的玩家的编号不同。
游戏分轮次进行，在每一轮中一次会发生这样的事情。
•如果所有当前所有的正常人都已经被感染，那么游戏结束。
•不然，黑恶势力会在当前的正常人(包括被感染的人)中等概率随机一个改造成僵尸。
•被改造成僵尸的玩家会攻击所有编号是他的倍数的玩家，使得他们被感染。
九条可怜现在想知道，这个游戏期望会进行多少轮？这个答案可能是一个实数，她想让你给出期望轮数乘上(R−L+1)!以后的结果，这个结果可能很大，请对109+7取模后输出。
输入
第一行输入两个整数 L, R 表示编号范围。
输出
一个整数，表示期望进行的轮数。
样例输入
2 4
样例输出
16
提示
• 2 3 4, 轮数是 2。
• 3 2 4, 轮数是 2。
• 4 2 3, 轮数是 3。
• 4 3 2, 轮数是 3。
• 2 4 3, 轮数是 3。
• 3 4 2, 轮数是 3。
每种情况的概率都是 1/6，于是期望轮数就是 (2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3)/6 =8/3。
乘上 3! = 6 以后就是 16 。
对于 20% 的数据，R − L + 1 ≤ 8。
对于另 10% 的数据，L = 1。
对于另 10% 的数据，L = 2。
对于另 30% 的数据，L ≤ 200。
对于 100% 的数据，1 ≤ L ≤ R ≤ 107 。
来源/分类
【总结】纸老虎
【分析】
这题有一个关键点，当我注意到时，才想明白此题：被感染的人也可以继续被选中，但被选中过的已经变成僵尸，不能选。
考虑这样一种数，我称为good数：在序列L，R中，不存在因子。也就是要想干掉good数，只能通过直接选中把它变成僵尸。
既然是等概率选僵尸，并且每个数只有一次机会，所以所有选择顺序情况就是L~R的全排列种情况。
而本题答案要求最终期望乘以(R-L+1)!，所以就变成了求 所有情况下，轮次的总和。
而对于一个排列的轮次就是，最后一个good数的位置。
1.预处理阶乘和阶乘的逆元，并且利用筛选法计算good数数量。（类似于素数筛选法）
2.枚举轮次，若某种排列进行i轮，则第i个位置一定最后一个good数，那么前i-1个位置就要放good-1个good数，剩下的位置放普通数。
3.整理下上面的描述就是，对于i轮的排列数量
优化的话，化简上式就好了，不再累赘
【代码】
/****
***author: winter2121
****/
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)
#define SI(i) scanf("%d",&i)
#define PI(i) printf("%d\n",i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int MAX=1e7+5;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-8;
int dir[9][2]={0,1,0,-1,1,0,-1,0, -1,-1,-1,1,1,-1,1,1};
template<class T>bool gmax(T &a,T b){return a<b?a=b,1:0;}
template<class T>bool gmin(T &a,T b){return a>b?a=b,1:0;}
template<class T>void gmod(T &a,T b){a=(a%mod+b)%mod;}
ll gcd(ll a,ll b){ while(b) b^=a^=b^=a%=b; return a;}
ll inv(ll b){return b==1?1:(mod-mod/b)*inv(mod%b)%mod;}
bool vis[MAX+5];
ll fac[MAX+5],finv[MAX+5];
int main()
{
fac[0]=1;
rep(i,1,MAX)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
finv[MAX]=inv(fac[MAX]);
for(int i=MAX-1;i>=0;i--)finv[i]=(i+1)*finv[i+1]%mod;
int L,R,n,good=0;
cin>>L>>R;
n=R-L+1;
rep(i,L,R)if(!vis[i])
{
good++;
for(int j=i+i;j<=R;j+=i)vis[j]=true;
}
ll ans=0;
rep(i,good,n)
{
ll res=good*fac[n-good]%mod * fac[i-1]%mod *finv[i-good]%mod;
gmod(ans,res*i);
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}