数列极限（二） - 代码天地

数列极限（二）

其他 2018-09-16 14:49:01 阅读次数: 0

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求极限

lim n \to \infty 2 n 2 - 2 + 2 + \dots 2 \sqrt - - - - - - - - \sqrt - - - - - - - - - - - - - \sqrt - - - - - - - - - - - - - - - - - - \sqrt .

$\lim_{n\to \infty} 2^n \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt 2}}} .$
解.

2 \sqrt = 2 cos π 4 = 2 cos π 2 2 2 + 2 \sqrt - - - - - - \sqrt = 2 (1 + cos π 2 2) - - - - - - - - - - - \sqrt = 2 cos π 2 3 \dots 2 - 2 + 2 + \dots 2 \sqrt - - - - - - - - \sqrt - - - - - - - - - - - - - \sqrt - - - - - - - - - - - - - - - - - - \sqrt = 2 cos π 2 n + 1 .

$\begin{equation} \begin{split} &\sqrt 2=2\cos \frac{\pi}{4}=2\cos \frac{\pi}{2^2}\\ &\sqrt{2+\sqrt 2}=\sqrt{2(1+\cos \frac{\pi}{2^2})}=2\cos \frac{\pi}{2^3}\\ &\cdots\\ &\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt 2}}}=2\cos \frac{\pi}{2^{n+1}}. \end{split} \end{equation}$
故

= = = = lim n \to \infty 2 n 2 - 2 + 2 + \dots 2 \sqrt - - - - - - - - \sqrt - - - - - - - - - - - - - \sqrt - - - - - - - - - - - - - - - - - - \sqrt lim n \to \infty 2 n 2 - 2 cos π 2 n + 1 - - - - - - - - - - - \sqrt lim n \to \infty 2 n \cdot 2 sin π 2 n + 2 lim n \to \infty 2 n + 1 π 2 n + 2 π 2 . □

$\begin{split} &\lim_{n\to \infty} 2^n \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt 2}}} \\ =&\lim_{n\to \infty} 2^n \sqrt{2-2\cos \frac{\pi}{2^{n+1}}}\\ =& \lim_{n \to \infty}2^n \cdot 2\sin \frac{\pi}{2^{n+2}}\\ =&\lim_{n\to \infty}2^{n+1} \frac{\pi}{2^{n+2}}\\ =&\frac{\pi}{2}.\quad\square \end{split}$

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