先定义一下,数论函数指的定义域是在正整数域下f(1)不等于0的函数。
来自Syu Gau
http://www.zhihu.com/question/23764267/answer/26007647
有以下几个概念
1,卷积:
设是两个数论函数(也就是说,以自然数集为定义域的复数值函数),则卷积运算定义为
注意,这里的卷积是狄利克雷卷积
可以证明,卷积运算满足:
1)交换律:
由定义显然。
2)结合律:
考察两边作用在 上,左边是
右边是
故两边相等。
3)存在 单位元使得
我们需要
故不难猜到 应该定义为
事实上,直接验证可得
以上说明数论函数在卷积意义下构成一个交换群。
2, 乘法单位元
上面的 是数论函数在卷积意义下的单位元,而普通乘法 意义下的单位元显然是把所有自然数都映到1的函数,记作 。
3, 莫比乌斯函数
在卷积意义下的逆元,称为莫比乌斯函数。也就是说 是满足
的唯一的数论函数。
把这个表达式写开就是
…………(*)
通常,莫比乌斯函数 定义为
;
,如果 能写成 个不同素数之积;
,其他情况。
按照这种定义不难证明(*)式。
对于 ,(*)式成立;
对于 ,用算术基本定理把 写成
于是
现在来看看莫比乌斯反演说的是什么呢?
当且仅当
注意这个写错了 是miu(n/d)
换而言之,
证明:
反之
考察两边作用在 上,左边是
右边是
故两边相等。
3)存在 单位元使得
我们需要
故不难猜到 应该定义为
事实上,直接验证可得
以上说明数论函数在卷积意义下构成一个交换群。
2, 乘法单位元
上面的 是数论函数在卷积意义下的单位元,而普通乘法 意义下的单位元显然是把所有自然数都映到1的函数,记作 。
3, 莫比乌斯函数
在卷积意义下的逆元,称为莫比乌斯函数。也就是说 是满足
的唯一的数论函数。
把这个表达式写开就是
…………(*)
通常,莫比乌斯函数 定义为
;
,如果 能写成 个不同素数之积;
,其他情况。
按照这种定义不难证明(*)式。
对于 ,(*)式成立;
对于 ,用算术基本定理把 写成
于是
现在来看看莫比乌斯反演说的是什么呢?
当且仅当
注意这个写错了 是miu(n/d)
换而言之,
证明:
反之