设在任意t时刻，动坐标系b系绕参考坐标系r系$ox_ry_r$平面上的单位转轴

$$u(t)= \left[ \begin{matrix} cos\Omega t \\ sin\Omega t \\ 0 \end{matrix} \right]$$

转动了$\phi$角度。
根据

$$Q(t)=cos\frac{\phi}{2}+u(t)sin\frac{\phi}{2}$$

则可得到：

$$Q(t)= \left[ \begin{matrix} cos(\phi/2) \\ \\ sin(\phi/2)cos\Omega t \\ \\ sin(\phi/2)sin\Omega t \\ \\ 0 \end{matrix} \right]$$

微分：

$$\dot{Q}(t)= \left[ \begin{matrix} 0 \\ \\ -sin(\phi/2)sin\Omega t \\ \\ sin(\phi/2)cos\Omega t \\ \\ 0 \end{matrix} \right]$$

由：

$$\dot{Q}(t)=\frac{1}{2} Q(t) \bigotimes \omega(t)$$

得：

$$\omega _q (t)=2Q^*(t) \bigotimes \dot{Q}(t) = \left[ \begin{matrix} 0 \\ \\ -\Omega sin \phi sin\Omega t \\ \\ \Omega sin \phi cos\Omega t \\ \\ -2\Omega sin^2(\phi/2) \end{matrix} \right]$$

即：

$$\omega(t)= \left[ \begin{matrix} -\Omega sin \phi sin\Omega t \\ \\ \Omega sin \phi cos\Omega t \\ \\ -2\Omega sin^2(\phi/2) \end{matrix} \right] = \Omega sin \phi \left[ \begin{matrix} -sin\Omega t \\ \\ cos\Omega t \\ \\ tan(\phi/2) \end{matrix} \right]$$

因

$$Q(t)=cos\frac{\phi}{2} + \frac{\phi(t)}{\phi} sin\frac{\phi}{2}$$

可得：

$$\phi(t) = \phi \left[ \begin{matrix} cos\Omega t \\ \\ sin \Omega t \\ \\ 0 \end{matrix} \right]$$

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整理一下思路：

$$u(t) \xrightarrow[]{} Q(t) \xrightarrow[]{} \omega(t)$$
另外还可：
$$u(t) \xrightarrow[]{} \phi(t) \xrightarrow[]{} Q(t) \xrightarrow[]{} \omega(t)$$

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参考自《捷联惯导算法与组合导航原理讲义（严恭敏）》《惯性导航（秦永元）》