前缀、中缀、后缀表达式(逆波兰表达式)
介绍
前缀表达式、中缀表达式、后缀表达式都是四则运算的表达方式,用以四则运算表达式求值
,即数学表达式的求职
中缀表达式
简介
中缀表达式就是常见的运算表达式，如(3+4)×5-6
前缀表达式
简介
前缀表达式又称波兰式，前缀表达式的运算符位于操作数之前
比如:- × + 3 4 5 6
前缀表达式的计算机求值
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果
例如:- × + 3 4 5 6
从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈
遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈
接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈
最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果
将中缀表达式转换为前缀表达式
转换步骤如下:
初始化两个栈:运算符栈s1，储存中间结果的栈s2
从右至左扫描中缀表达式
遇到操作数时，将其压入s2
遇到运算符时，比较其与s1栈顶运算符的优先级
如果s1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈
否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入s1
否则，将s1栈顶的运算符弹出并压入到s2中，再次转到(4-1)与s1中新的栈顶运算符相比较
遇到括号时
如果是右括号“)”，则直接压入s1
如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃
重复步骤2至5，直到表达式的最左边
将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2
依次弹出s2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式
例如:1+((2+3)×4)-5具体过程，如下表
扫描到的元素 S2(栈底->栈顶) S1 (栈底->栈顶) 说明
5 5 空 数字，直接入栈
- 5 - s1为空，运算符直接入栈
) 5 -) 右括号直接入栈
4 5 4 -) 数字直接入栈
x 5 4 -)x s1栈顶是右括号，直接入栈
) 5 4 -)x) 右括号直接入栈
3 5 4 3 -)x) 数字
+ 5 4 3 -)x)+ s1栈顶是右括号，直接入栈
2 5 4 3 2 -)x)+ 数字
( 5 4 3 2 + -)x 左括号，弹出运算符直至遇到右括号
( 5 4 3 2 + x - 同上
+ 5 4 3 2 + x -+ 优先级与-相同，入栈
1 5 4 3 2 + x 1 -+ 数字
到达最左端 5 4 3 2 + x 1 + - 空 s1剩余运算符
结果是:- + 1 × + 2 3 4 5
后缀表达式
简介
后缀表达式又称逆波兰表达式,与前缀表达式相似，只是运算符位于操作数之后
比如:3 4 + 5 × 6 -
后缀表达式计算机求值
与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果
例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”：
从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
将5入栈；
接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
将6入栈；
最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
将中缀表达式转换为后缀表达式
与转换为前缀表达式相似，步骤如下：
初始化两个栈：运算符栈s1和储存中间结果的栈s2；
从左至右扫描中缀表达式；
遇到操作数时，将其压s2；
遇到运算符时，比较其与s1栈顶运算符的优先级：
如果s1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入s1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
否则，将s1栈顶的运算符弹出并压入到s2中，再次转到(4-1)与s1中新的栈顶运算符相比较；
遇到括号时：
如果是左括号“(”，则直接压入s1；
如果是右括号“)”，则依次弹出s1栈顶的运算符，并压入s2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
重复步骤2至5，直到表达式的最右边；
将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2；
依次弹出s2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）
例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：
扫描到的元素 s2(栈底->栈顶) s1 (栈底->栈顶) 说明
1 1 空 数字，直接入栈
+ 1 + s1为空，运算符直接入栈
( 1 + ( 左括号，直接入栈
( 1 + ( ( 同上
2 1 2 + ( ( 数字
+ 1 2 + ( ( + s1栈顶为左括号，运算符直接入栈
3 1 2 3 + ( ( + 数字
) 1 2 3 + + ( 右括号，弹出运算符直至遇到左括号
× 1 2 3 + + ( × s1栈顶为左括号，运算符直接入栈
4 1 2 3 + 4 + ( × 数字
) 1 2 3 + 4 × + 右括号，弹出运算符直至遇到左括号
- 1 2 3 + 4 × + - -与+优先级相同，因此弹出+，再压入-
5 1 2 3 + 4 × + 5 - 数字
到达最右端 1 2 3 + 4 × + 5 - 空 s1中剩余的运算符
因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”