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前置技能:欧几里得算法,详细可见https://blog.csdn.net/mmmmmmmw/article/details/79228656
此外,可以用费马小定理求逆元,详细可见:https://blog.csdn.net/MMMMMMMW/article/details/81071927
逆元
已知(A/B)%M = (A * 1/B)%M = ( (A % M) * ( (1/B) % M) )% M
令H为B的逆元,则 H %M = (1/B) % M,同时乘以B(显然B不等于0)
得H * B %M = 1 % M
即H * B ≡ 1 (mod M)
拓展欧几里得算法
逆元可以通过拓展欧几里得来得到。
首先,(A/B)%m中,我们要求B的逆元,也就是Bx+my = gcd(B,m)中的x,其中B,m为已知的。
通过欧几里得算法,我们可得
gcd(B,m)= gcd(m,B%m)
即Bx1+my1 = mx2 + (B%m)y2 = mx2 + (B - B/m*m)y2 = By2 + m(x2 - B/m)
可得,x1 = y2,y1 = (x2-B/m)
我们一直递归,可到终止条件,即
x = 1,y = 0 (此时gcd(a,0),可得a*x= a)
下面是模板代码:
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exgcd(b,a%b,x,y);
int t = x;
x = y;
y = t - a/b*y;
return r;
}