用归纳法证明:
n=1时命题成立
假设n=k-1时命题成立
证明n=k时命题成立
设为k阶矩阵,且Ak∈,它的特征多项式为
设为中的k个线性无关的列向量,其中为特征值所对应的特征向量。
即
记
则
由于,所以可由线性表出。
即
于是
等式两边同左乘可得
有归纳法的假设:n=k-1时命题成立,可得
记 ,
则
综上,命题得证。
由证明过程可知,即使A不满秩依然有相似的上三角矩阵,只是对角线上的(n-r)个特征值为零。
参考书籍:《矩阵论》第四版,西北工业大学出版社;程云鹏等。