5. 多元函数微分学
5.1 证明二重极限不存在
题型: 证明一个二重积分不存在
一般来说证明存在不存在的问题都是不存在的, 因为证明重极限不存在只需从两条不同的路径逼近得到不同的极限就可以了, 但是要证明存在不可能把所有的路径都列举出来.
李王全书: P146.例1
5.2 求二重极限
题型: 如题
- 利用极限的性质(比如size运算法则, 夹逼定理)
- 消去分母中极限为0的因子
- 转化为一元函数极限, 利用一元函数求极限方法求解
- 利用无穷小量与有界之积为无穷小量
李王全书: P147.例2
5.3 讨论二元函数的连续性, 偏导数存在性
题型: 如题
根据连续的定义, 如果f(x,y)的在(0,0)点的极限存在且等于f(0,0), 那么f(x,y)在(0,0)点连续
李王全书: P147.例3,4
5.4 讨论二元函数的可微性
题型: 如题
一般方法是考察f对x, y的偏导是否在x0,y0处存在, 不存在则不可微. 若存在, 根据给定的公式可以判定是否可微
李王全书: P150.例8,9,11
5.5 求复合函数的偏导数与全微分
题型: 一般分为
- 给出具体表达式函数的偏导数于全微分
- 求含有抽象函数的偏导数与全微分
对于给出具体表达式函数的可以直接使用定义进行求解
对于含有抽象函数的注意理解和使用好f1’ 与 f11’这样的导数式
李王全书: P155.例12,13,14,15,17,19,21,22,23,24
5.6 求隐含的偏导数于全微分
题型: 一般分为
- 由一个方程所确定的隐函数的偏导数于全微分的计算
由一个方程组所确定的隐函数的偏导数于全微分的计算
利用隐函数求导公式
- 方程两端求导, 解出所求偏导数
- 利用微分形式不变性, 方程两端求微分
李王全书: P163.例30,32,37
5.7 无条件极值问题
题型: 给出函数, 求极值
求出所有一阶偏导, 再求出所有二阶偏导, 按照AC-B^2的公式来判断极值
李王全书: P170.例39,41
5.8 有条件极值问题
题型: 在给定的范围内, 给出范围, 求极值
思路: 驻点可能在定义域内也可能在定义域外. 极值可能在中间也可能在边界. 有时拉格朗日乘数法也特别好用
李王全书: P172. 例44,45,46,47,51