欧拉定理:对于正整数N,代表小于等于N的与N互质的数的个数,记作φ(N)
φ(N)的求解有这样几个方法(在此直接写结论 , 不再证明):
1.如果n为某一个素数p,则φ(p)=p-1;
比如 p = 7 , 那么φ(7) = 6 (1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,6 );
2. 1 与任何数都互质
3.如果 n 可以分为俩个互质数的积 , 那么φ(n)=φ(a)*φ(b);
例如:φ(56)=φ(7)*φ(8) = 6 * 4 = 24;
4.如果 n 为某个质数的次方(例:n = p ^ k)则有公式: φ(n) = p^k - p^(k-1) = (p-1) * p ^ (k-1)
例如:φ(8) = 2^3 - 2^2 = 1 - 2^ 2 = 4;
( 特殊性质:
5.若 n 为奇数 ,则有 φ(2n) = φ(n)。
6.对于任何俩个互质的正整数a , n (n>2)
有a^φ(n)≡1 mod n (欧拉定理)
)
利用容斥定理
如果 n 不是质数 , 则只需要除去 n 的质因子及 质因子的倍数
例:φ(10) = φ(2) * φ(5)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
no no no no no
φ(10) = 4 (1 , 3 , 7 , 9);