欧拉定理
,a与n互质时成立。
欧拉函数
上式中的
为欧拉函数,即区间
内与
互质(什么是互质,即两个数的公因子只有1)的数的个数。
,
为质因子。
当n为质数时
,这个就是费马小定理(a与n互质时成立)。
代码:
int eular(int x)//欧拉函数
{
int ans=x;
for(int i=2;i*i<=x;i++){
if(x%i==0){
x/=i;
ans-=ans/i;
while(x%i==0)x/=i;
}
}
if(x>1)ans-=ans/x;
return ans;
}
欧拉函数的几个性质
1.当n为质数时
2.由积性函数的性质知:若m,n互质
3.若n为质数p的k次幂,
4.当n为奇质数时,
来个例题:HDU GCD Again
题目大意:给一个数n,问在区间
内有多少数个数与n的最大公约数大于1.
思路:利用欧拉函数,因为
是在区间
内与n互质的个数,两个数互质就说明两个数的最大公因数为1,那么在区间
其他的数与n的最大公因数就肯定不为1。举个例子:在区间
内,与12互质的数为:1、5、7、11。那就好办了。就求出
,然后ans=(n-1)-
代码:
#include<cstdio>
#include<set>
#include<map>
#include<string.h>
#include<string>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long eular(long long x)
{
long long ans=x;
for(long long i=2;i*i<=x;i++){
if(x%i==0){
x/=i;
ans-=ans/i;
while(x%i==0)x/=i;
}
}
if(x>1)ans-=ans/x;
return ans;
}
int main()
{
long long n;
while(scanf("%lld",&n)&&n)
{
long long ans=(n-1)-eular(n);
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
下面是一些代码(非原创,看博客学习的)
const int maxn=1e4+10;
long long POW(long long a,long long b,long long mod)//快速幂
{
long long ans=1,base=a;
while(b){
if(b&1)
ans=(ans*base)%mod;
base=(base*base)%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
int eular(int x)//欧拉函数
{
int ans=x;
for(int i=2;i*i<=x;i++){
if(x%i==0){
x/=i;
ans-=ans/i;
while(x%i==0)x/=i;
}
}
if(x>1)ans-=ans/x;
return ans;
}
int e[maxn];
void eular ()//打表欧拉函数
{
for(int i=1;i<=maxn;i++)
e[i]=i;
for(int i=2;i<=maxn;i++){
if(e[i]==i){
for(int j=i;j<=maxn;j+=i)
e[j]-=e[j]/i;
}
}
}
int prime[MAXN];//埃筛
bool vis[MAXN];
int cou = 0;
void ai()
{
cou = 0;
memset(prime,0,sizeof(prime));
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=2;i<=MAXN;i++){
if(!vis[i]){
prime[++cou]=i;
for(int j=2*i;j<=MAXN;j+=i)
vis[j]=1;
}
}
}
void make_prime()//线性筛
{
cou = 0;
memset(prime,0,sizeof(prime));
memset(vis,0,sizeof(vis));
vis[0]=vis[1]=1;//0和1不是素数
for(int i=2;i<=MAXN;i++)
{
if(!vis[i])
prime[++cou]=i;//记录素数
for(int j=1;j<=cou;j++){
if(i*prime[j]>MAXN)break;
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)break;
}
}
}