【题目描述】
【思路】
做不出来,看了讨论区大佬的题解才写出来的。
这道题是V1难度,还有V2,V3根本不会,先贴上V1的题解
下面的所有字母编号都从
开始,范围
首先,一个合法的字符串显然是由若干个合法的“链”组成的。链的定义就是:从一个字母开始连,后面每个字母编号必须大于等于前一个的2倍,这样尽可能的连接下去。所谓尽可能连接下去的意思是,链的最后一个字母编号i必须满足
,这样后面不能接东西了,并且只有这样的链才合法。对于每个合法字符串,划分成合法链的方法是唯一的。
比如
的
个解 分别是
问题转化为两步:
(1)
表示长度为x的合法链的个数,求
(2)
表示长度为x的合法字符串数,求
对于(2) 显然我们有
就是长度为x的解可以先弄出一条链来,再构造剩余的部分。为方便可以定义
,这样单独一条长度为x的合法链也是合法解。 其中p是最长的合法链的长度。
用这个式子直接推长度为
的结果复杂度是
显然,当有n种字母的时候,
是
级别的。所以这部分复杂度是
在
比较小的时候这部分复杂度可以了。
然后上面的题解只给了 的递推式,但在这之前还要计算出所有的 ,这个我是又用了一个 来求解的,如果设 表示长度为 的序列 ,每一项都在 中取,同时严格满足 对应的序列的数量,那么有递推式 可以利用前缀和优化,最终在 求解出 ,然后可以根据 数组的值求出 ,然后再按照题解那样递推答案
#include<bits/stdc++.h>
#define min(a,b)(a<b?a:b)
using namespace std;
const int maxn=1000005;
const int mod=1e9+7;
int n,m,logn=1;
int dp[30][maxn],g[30];
int ans[maxn];
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
while((1<<(logn))<=n) ++logn;
for(int j=1;j<=n;++j) dp[1][j]=dp[1][j-1]+1;
for(int i=2;i<=logn;++i){
for(int j=(1<<(i-1));j<=n;++j){
dp[i][j]=dp[i-1][j/2];//先求出长度为i,以j为末尾的序列数量
}
for(int j=(1<<(i-1));j<=n;++j){
dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i][j-1])%mod;//最后再算一下前缀和
}
}
for(int i=1;i<=logn;++i) g[i]=((dp[i][n]-dp[i][n/2])%mod+mod)%mod;
ans[0]=1;
ans[1]=n-n/2;
for(int i=2;i<=m;++i){
for(int j=1;j<=min(i,logn);++j){
ans[i]=(ans[i]+(long long)ans[i-j]*g[j]%mod)%mod;
}
}
printf("%d\n",ans[m]);
return 0;
}