将正整数n表示成一系列正整数之和。
n=n1+n2+...+nk;
其中n1>=n2>...>=nk>=1, k>=1
正整数n这种表示称为正整数n的划分。问题是求正整数n的不同划分个数。
例如正整数6有如下11种不同的划分
6;
5+1;
4+2,4+1+1;
3+3,3+2+1,3+1+1+1;
2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1
输入:正整数n。
输出:n的不同划分个数。
运行结果:
分析:前面的几个例子中,问题本身都具有比较明显的递归关系,易用递归函数直接求解。
本例若设p(n)为正整数n的划分数,则难以找到递归关系
现考虑增加一个自变量,将最大加数n1不大于m的划分个数记做q(n,m).q(n,m)有如下递归关系。
(1) q(n,1) = 1 n>=1
当最大加数n1 不大于1时,任何正整数n只有一种划分形式,即
(2)q(n,m) = q(n,n), m>=n
最大加数n1 实际上不能大于n。因此,q(1,m) = 1.
(3)q(n,n) = 1 + q(n,n-1); n=m
正整数n的划分由n1=n的划分和n1<=n-1的划分组成。
(4)q(n,m) = q(n,m-1) + q(n-m,m), n > m > 1;
正整数n的最大加数n1,不大于m的划分,由n1 <= m-1的划分和n1=m的划分组成。
注意,正整数n的n1=m的所有划分形式为
m+m1+…+mi =n where mj ≤ m, j=1,2,…,i
That is, m1+…+mi =n-m
因此,n的n1=m的划分个数是q(n-m, m)
所以,q(n,m)的递归关系:
q(n,m) =
1 n=1, m=1
q(n,n) n<m
1 + q(n,n-1) n=m
q(n,m-1) + q(n-m,m) n>m>1
正整数n的划分数p(n) = q(n,n)
int q(int n, int m)
{
if(n<1 || m<1) //小于1说明不存在
return 0;
if(n==1 || m==1) //只有一种划分形式
return 1;
if(m > n) //最大加数m实际上不能大于n 因此q(1,m) = 1
return q(n, n);
if(n == m) //正整数的划分由n1=n的划分和n1<=n-1的划分组成
return q(n, m-1) + 1;
return q(n, m-1) + q(n-m, m); //由n1=m的划分和n1<=m-1的划分组成
}